漫画：数据结构之最短路径 Dijkstra 算法的优化 | 技术头条

作者小灰，本文经授权转载自程序员小灰（ID：chengxuyuanxiaohui）。

在《漫画：图的 “最短路径” 问题》一文中小灰介绍了单源最短路径算法 Dijkstra。当时漫画中我们遗留了一个问题：如何求得最短路径的详细节点，而不仅仅是距离？——在本篇中，我们将会给与解答。

我们仍然以下面这个带权图为例，找出从顶点A到顶点G的最短距离。

详细过程如下：

第1步，创建距离表和前置顶点表。

距离表的Key是顶点名称，Value是从起点A到对应顶点的已知最短距离，默认为无穷大；前置顶点表的Key是顶点名称，Value是从起点A到对应顶点的已知最短路径的前置定点。

第2步，遍历起点A，找到起点A的邻接顶点B和C。从A到B的距离是5，从A到C的距离是2。把这一信息刷新到距离表当中。

同时，顶点B、C的前置顶点都是A，顶点A在邻接表中下标是0，所以把前置顶点表的B、C值更新为0：

第3步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点C。

第4步，遍历顶点C，找到顶点C的邻接顶点D和F（A已经遍历过，不需要考虑）。从C到D的距离是6，所以A到D的距离是2+6=8；从C到F的距离是8，所以从A到F的距离是2+8=10。把这一信息刷新到表中。

同时，顶点D、F的前置顶点都是C，顶点C在邻接表中下标是2，所以把前置顶点表的D、F值更新为2：

接下来重复第3步、第4步所做的操作：

第5步，也就是第3步的重复，从距离表中找到从A出发距离最短的点（C已经遍历过，不需要考虑），也就是顶点B。

第6步，也就是第4步的重复，遍历顶点B，找到顶点B的邻接顶点D和E（A已经遍历过，不需要考虑）。从B到D的距离是1，所以A到D的距离是5+1=6，小于距离表中的8；从B到E的距离是6，所以从A到E的距离是5+6=11。把这一信息刷新到表中。

同时，顶点D、E的前置顶点都是B，顶点B在邻接表中下标是1，所以把前置顶点表的D、E值更新为1：

第7步，从距离表中找到从A出发距离最短的点（B和C不用考虑），也就是顶点D。

第8步，遍历顶点D，找到顶点D的邻接顶点E和F。从D到E的距离是1，所以A到E的距离是6+1=7，小于距离表中的11；从D到F的距离是2，所以从A到F的距离是6+2=8，小于距离表中的10。把这一信息刷新到表中。

同时，顶点E、F的前置顶点都是D，顶点D在邻接表中下标是3，所以把前置顶点表的E、F值更新为3：

第9步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点E。

第10步，遍历顶点E，找到顶点E的邻接顶点G。从E到G的距离是7，所以A到G的距离是7+7=14。把这一信息刷新到表中。

同时，顶点G的前置顶点是E，顶点E在邻接表中下标是4，所以把前置顶点表的G值更新为4：

第11步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点F。

第12步，遍历顶点F，找到顶点F的邻接顶点G。从F到G的距离是3，所以A到G的距离是8+3=11，小于距离表中的14。把这一信息刷新到表中：

就这样，除终点以外的全部顶点都已经遍历完毕，距离表中存储的是从起点A到所有顶点的最短距离，而前置定点存储的是从起点A到所有顶点最短路径的前置顶点。

如何把前置顶点表“翻译”成图的最短路径呢？我们可以使用回溯法，自后向前回溯：

第1步，找到图的终点G，它是最短路径的终点：

第2步，通过前置定点表找到顶点G对应的前置下标5，在顶点数组中找到下标5对应的顶点F，它是顶点G的前置顶点：

第3步，通过前置定点表找到顶点F对应的前置下标3，在顶点数组中找到下标3对应的顶点D，它是顶点F的前置顶点：

第4步，通过前置定点表找到顶点D对应的前置下标1，在顶点数组中找到下标1对应的顶点B，它是顶点D的前置顶点：

第5步，通过前置定点表找到顶点B对应的前置下标0，在顶点数组中找到下标0对应的顶点A，它是顶点B的前置顶点：

如此一来，我们把前置顶点表（0,0,1,3,3,5）转化成了最短路径（A-B-D-F-G）。

/**
 * Dijkstra最短路径算法
 */
public static int[] dijkstra(Graph graph, int startIndex) {
 //图的顶点数量
 int size = graph.vertexes.length;
 //创建距离表，存储从起点到每一个顶点的临时距离
 int[] distances = new int[size];
 //创建前置定点表，存储从起点到每一个顶点的已知最短路径的前置节点
 int[] prevs = new int[size];
 //记录顶点遍历状态
 boolean[] access = new boolean[size];
 //初始化最短路径表，到达每个顶点的路径代价默认为无穷大
 for(int i=0; i<size; i++){
 distances[i] = Integer.MAX_VALUE;
 }
 //遍历起点，刷新距离表
 access[0] = true;
 List<Edge> edgesFromStart = graph.adj[startIndex];
 for(Edge edge : edgesFromStart)
 {
 distances[edge.index] = edge.weight;
 prevs[edge.index] = 0;
 }
 //主循环，重复 遍历最短距离顶点和刷新距离表 的操作
 for(int i=1; i<size; i++)
 {
 //寻找最短距离顶点
 int minDistanceFromStart = Integer.MAX_VALUE;
 int minDistanceIndex = -1;
 for(int j=1; j<size; j++)
 {
 if(!access[j] && distances[j] < minDistanceFromStart)
 {
 minDistanceFromStart = distances[j];
 minDistanceIndex = j;
 }
 }
 if(minDistanceIndex == -1){
 break;
 }
 //遍历顶点，刷新距离表
 access[minDistanceIndex] = true;
 for(Edge edge : graph.adj[minDistanceIndex])
 {
 if(access[edge.index]){
 continue;
 }
 int weight = edge.weight;
 int preDistance = distances[edge.index];
 if(weight != Integer.MAX_VALUE && (minDistanceFromStart+ weight < preDistance))
 {
 distances[edge.index] = minDistanceFromStart + weight;
 prevs[edge.index] = minDistanceIndex;
 }
 }
 }
 return prevs;
}
public static void main(String[] args) {
 Graph graph = new Graph(7);
 initGraph(graph);
 int[] prevs = dijkstra(graph, 0);
 printPrevs(graph.vertexes, prevs, graph.vertexes.length-1);
}
private static void printPrevs(Vertex[] vertexes, int[] prev, int i){
 if(i>0){
 printPrevs(vertexes, prev, prev[i]);
 }
 System.out.println(vertexes[i].data);
}
/**
 * 图的顶点
 */
private static class Vertex {
 String data;
 Vertex(String data) {
 this.data = data;
 }
}
/**
 * 图的边
 */
private static class Edge {
 int index;
 int weight;
 Edge(int index, int weight) {
 this.index = index;
 this.weight = weight;
 }
}
/**
 * 图
 */
private static class Graph {
 private Vertex[] vertexes;
 private LinkedList<Edge> adj[];
 Graph(int size){
 //初始化顶点和邻接矩阵
 vertexes = new Vertex[size];
 adj = new LinkedList[size];
 for(int i=0; i<adj.length; i++){
 adj[i] = new LinkedList<Edge>();
 }
 }
}
private static void initGraph(Graph graph){
 graph.vertexes[0] = new Vertex("A");
 graph.vertexes[1] = new Vertex("B");
 graph.vertexes[2] = new Vertex("C");
 graph.vertexes[3] = new Vertex("D");
 graph.vertexes[4] = new Vertex("E");
 graph.vertexes[5] = new Vertex("F");
 graph.vertexes[6] = new Vertex("G");
 graph.adj[0].add(new Edge(1, 5));
 graph.adj[0].add(new Edge(2, 2));
 graph.adj[1].add(new Edge(0, 5));
 graph.adj[1].add(new Edge(3, 1));
 graph.adj[1].add(new Edge(4, 6));
 graph.adj[2].add(new Edge(0, 2));
 graph.adj[2].add(new Edge(3, 6));
 graph.adj[2].add(new Edge(5, 8));
 graph.adj[3].add(new Edge(1, 1));
 graph.adj[3].add(new Edge(2, 6));
 graph.adj[3].add(new Edge(4, 1));
 graph.adj[3].add(new Edge(5, 2));
 graph.adj[4].add(new Edge(1, 6));
 graph.adj[4].add(new Edge(3, 1));
 graph.adj[4].add(new Edge(6, 7));
 graph.adj[5].add(new Edge(2, 8));
 graph.adj[5].add(new Edge(3, 2));
 graph.adj[5].add(new Edge(6, 3));
 graph.adj[6].add(new Edge(4, 7));
 graph.adj[6].add(new Edge(5, 3));
}

代码中，距离表和前置顶点表都是采用数组存储，这样比较方便。

输出最短路径的时候，代码中采用了递归的方式进行回溯。