第五章 两个在山顶上

第五章

两个在山顶上

“我们中间谁不愿意揭开隐藏未来的面纱；一瞥我们科学的进步和发展的秘密在未来的几个世纪里？主要的数学目标是什么下一代人的精神追求？什么新方法和新事实新世纪数学思想的广阔而丰富的领域会被揭示吗？”这些话是德国数学家大卫希尔伯特在1900年8月8日上午，在巴黎的索邦，在观众面前世界上许多最著名的数学家。大卫希尔伯特在哥廷根大学，他的名声已经被那个时代有影响力的科学家。他是一位优雅的绅士，秃顶，而且整齐的胡须。他的巴拿马帽和眼镜完成了一个在同时严肃而文雅。

在简短的概述之后，在演讲开始时20世纪，希尔伯特为他的同事们描述了那些悬而未决的大问题 这将不得不在未来几十年内解决。他数了23个。鉴于希尔伯特的能力，以及他提出的问题的广度，立即成为显然，挑战是严峻的。在他之前没有人敢迈出这一步，从那以后也没有人。很明显，这些并不是孤立的、独立的问题，但23个最关键的障碍数学。19世纪和20世纪分别关注规律性和存在性关于变分法中问题的解。不用担心希尔伯特本人对具体情况有明确的解决办法，他主要感兴趣的是几个一般特征的定义：解是否总是存在的？如果它们是，它们是规则的；也就是说，它们是没有尖点的“平滑”解决方案还是不连续？

许多伟大的数学家试图回答这些问题，其中包括乌克兰人谢尔盖·伯恩斯坦，奥地利人埃伯哈德·霍普夫，美国人查尔斯·莫雷和意大利人雷纳托·卡奇奥波利和吉多·斯坦帕奇亚。所有的一切一些贡献，但没有一个能够消除所有关于问题。

问题的关键在于，为了保证解决方案，更广泛的必须考虑到各种职能，包括极不规则的职能。由然而，扩大可容许解的起始集，它们的正则性就不能有先见之明。这是因为最小问题可能是数学家们的许多奇异函数之一发现的数量越来越多，其中一些类似于碎片有无穷多个角或不连续的线。能把解决办法减到最低限度吗问题是这些奇怪的形状之一？这似乎不太可能，同样常见感觉显示最小的表面是光滑和规则的，就像肥皂泡。但在数学上常识是不够的迫切需要找到一个严格的、具有普遍有效性的解决方案。

最初，这些困难被低估了。1905年，5年后希尔伯特的陈述，谢尔盖·伯恩斯坦证明了这个定理是正确的，如果，与考虑所有可能的表面不同，分析仅限于假设为先验正则的函数用于物理学或工程学。换句话说，如果解决方案足够规则，然后他们就会自动地尽可能地保持正常。不可能介于解决方案之间。这已经是一个足够好的结果了，尽管它没有排除这样一个事实：解的正则性可能低于最小阈值。但是数学家们很乐观，因为一个解决方案似乎很接近。

事实并非如此。在上世纪三四十年代只取得了微不足道的进步，很明显，需要一种全新的方法。在接受希尔伯特挑战的年轻数学天才中，有一个特别有野心的人，渴望向全世界展示他的能力。他约翰·福布斯·纳什，这本书和这部电影的主角。这本书的作者，记者西尔维亚·纳萨尔形容他高大英俊，傲慢，古怪。

纳什出生于1928年6月13日，在德乔治出生几个月后，在西部的蓝田弗吉尼亚。他的父亲是德州人，一战老兵，是一名电气工程师去蓝田工作了。他母亲是布鲁菲尔德本地人在那里学习，成为一名拉丁语和英语教师。

约翰从小就把他手上能拿的任何一本书都吃了，就像德乔治，他喜欢自己演示他遇到的任何定理。什么时候？他上了大学，跟随父亲的脚步，进入了工程系教员。但后来他转向了化学，并最终转向了数学。即使是这样，他也走了一条和德乔治相似的路。毕业后，他去普林斯顿攻读博士学位，在那里他对游戏产生了兴趣理论，以其现代形式诞生于1928年由折衷派约翰冯写的一篇论文诺依曼。

博弈论试图建立有助于决策的客观标准在游戏、经济或政治中可能发生的竞争情况。从从一开始，纳什就把这个理论放在了一个新的背景下，并在他的博士论文中发展了非合作博弈的思想个人拥有利益，不建立联盟。在随后的几十年来纳什的思想在经济学中变得非常有用，正因为如此，他1994年获诺贝尔经济学奖。

1951年获得博士学位后，纳什第一次去了麻省理工学院技术，后来回到普林斯顿，最终成为纽约大学库兰特数学科学研究所。这是一个非常动力学院，以至于《财富》杂志把它定义为“国家数学分析之都”纳什1956年到达那里，当时对政治比定理更感兴趣，比如苏联入侵匈牙利。

在纽约大学期间，数学家们开始研究一类新的问题，在那之前，因为它们复杂性。这些都是非线性问题，也就是说，在这些问题中与原因不成正比。在那个时期，纽约大学的数学家开始研究这些问题时遇到了很多障碍。在…之间另外，为了取得进展，希尔伯特的第十九个问题必须得到解决，而且没人知道怎么做：数学家们陷入僵局。

约翰·纳什很快对这些问题产生了兴趣。他在追一个重要的结果。根据西尔维亚·纳萨尔的说法，他知道希尔伯特的第十九个问题来自路易斯尼伦伯格，4个最伟大的专家之一，纳萨尔描述作为“一个矮小、目光短浅、性情温顺的库兰特的年轻追随者”，纳什很着迷通过这次挑战，开始与更有经验的同事会面去了解他会怎么做。“我们经常见面，”尼伦伯格告诉纳萨尔。纳什会说，我似乎需要这样那样的不平等。我想是真的“那……”“纳什的猜测常常是离谱的。“他有点摸索。他给人的印象。我不太相信他会通过。”

尼伦伯格把纳什介绍给他的同事拉尔斯·赫曼德，“一个高大而坚毅的人“瑞典人，”纳萨尔描述他，但他也困惑。“起初，他的猜想显然是错误的，”赫曼德宣称。但后来有些事情改变了。“在他又想了好几次没有那么明显的错误。”西尔维亚·纳萨尔补充道：“他巧妙地迂回地解决了这个问题，先将非线性方程组转化为线性方程组，然后攻击这些都是非线性的。“这是天才的一笔，”彼得拉克评论道他们密切关注研究进展。

在找到一条可能的解决之路后，一个严格的论证不得不被发现。这时纳什发现自己陷入了困境。纳斯尔报告：“有在证据上有一些小差距，纳什开始写论文，列出了对他所做的一切的详细叙述，是非常粗略的。“是的，”一位同事说1996年，他好像是个作曲家，能听到音乐，但他不知道把它写下来，或者确切地说如何编排它。事实证明，这需要在一些数学家的最终成果之前被认为是纳什最重要的工作终于准备好提交给一本日记。”

因此，为了完成他的工作，纳什不得不依靠许多同事的帮助。纳什敲了敲门，问了问题，大声思考，寻找想法，然后最后，剑桥周围的十几位数学家对在他的问题上足够长时间放弃他们自己的研究来解决小问题“关于他的困惑，”西尔维亚·纳萨尔说。由此产生的是一个非常复杂的演示。据报道，德乔治说：“最后，还不清楚它为什么会起作用。”然而，几年后他说：“它绝对完美。它是基于一些很深的引理。”

约翰·纳什很快成名，1958年夏天，杂志社财富使他成为他那一代最杰出的数学家之一。纳什的目标是赢得菲尔兹奖，通常被认为是“数学诺贝尔奖”国际数学联合会每四年颁发一次。更多最重要的是，他希望得到有声望的认可，而这可能是好时机。不幸的是，一个年轻的意大利数学家（德·乔治）已经在一本“晦涩难懂”的地方科学院杂志上发表了同一定理的证明。8他认为失败的痛苦沉重地压在他身上。但他仍然还没准备好放弃奖品。

西尔维娅·纳萨尔重建了当年在菲尔兹勋章的颁发：在表决中以4票对3票反对委员会由七名成员组成，经过激烈讨论后获奖被授予勒内·托姆（拓扑学）和克劳斯·罗斯（数论）。委员会的一位委员对这个决定非常不满坚持认为也应该承认约翰纳什。显然，没有人被认为是德乔治。

在他的自传中，关于诺贝尔奖的颁发，纳什评论道：“（……）虽然我确实成功地解决了这个问题，但我遇到了一些坏运气，因为，我没有充分了解其他人在这一地区的所作所为，碰巧我和意大利比萨的恩尼奥德乔治同时工作。扩散系数乔治是第一个真正实现登顶的人，至少对于特别有趣的例子是“椭圆方程”。

在电影《美丽心灵》中，有一幕以约翰的一张照片开场纳什在麻省理工学院办公室的办公桌。这是一个关键时刻数学家的谵妄，当他被精神分裂症所战胜时，被揭示为第一次。在看到墙上满是剪报之前，疯狂地为了寻找不存在的编码信息，摄像机在凌乱的地面上摇摄桌子。就在前面，电话旁边，还有几期《生活》杂志是Annali della scula Normale Superiore的副本，该杂志经常出版德乔治的贡献。据11岁的数学顾问戴夫拜尔说对于这部电影，这一提法并非故意的。此外，德乔治出版了在其他地方研究希尔伯特的著名问题，因为那时他还没有比萨斯库拉师范学院的一位教授，因此没有为其期刊撰稿。然而，这个细节，即使是偶然的，也会让观众认为约翰纳什的精神分裂症是由于被打到了梦寐以求的解决办法而引起的去解决这个问题。“当纳什得知德乔治的事时，他非常震惊”-意大利数学家Giancarlo Rota告诉Sylvia Nasar.12-“有些人甚至我想他是因为这个才崩溃的后来，又把纳什拖进深渊多年。当被问到的时候，路易斯尼伦伯格断然否认，他的同事的危机是由于德乔治的结果：更可能的是，这个问题是由一系列不幸的与疾病的遗传倾向相结合的因素。

陪审团的裁决是时代和环境的产物判断是不同的。如果一个数学定理的解是与登山相比，纳什和德乔治的示威游行相当于从对面的两条路到达山顶两者都值得承认，因为它们有着深刻的独创性。纳什是从他的兴趣出发的非线性微分方程中的De Giorgi变分法。

德乔治的崛起始于1955年夏天，当时年轻的数学家只有27岁。经过一年特别紧张的工作，他像往常一样和朋友一起去山上度假。“在1955年8月的一个美丽的日子里”—记得恩尼奥的朋友恩里科·马格内斯“恩尼奥·德·乔治，吉多·斯塔姆帕奇亚，卡洛·普奇和我在潘城小径上远足，俯瞰美丽的景色马尔莫拉达（白云石阿尔卑斯山的最高峰）周围的风景Pordoi Pass和Fedaia rifugio（高山小屋）。普奇和我想去速度更快，但我们不得不经常停下来等我们的朋友他们之间的讨论：斯塔姆帕奇亚正在向德乔治解释这一进展关于希尔伯特的第十九个问题。”尽管他把他的朋友尊敬，这就是为什么他一直在谈论这个问题，斯塔姆帕奇亚没想到德乔治会立刻处理这个问题。埃尼奥，相反，谁在反思与几何测量理论有关的论点最小曲面，立刻明白他有正确的数学解决问题的工具。

然而，要达到顶峰并不容易。这条路很艰难，德乔治被迫进行高技术性的演习。“示威的关键比看上去要微妙得多”，利维奥·克莱门特·皮奇尼尼强调乔治总是和他的学生谈论等周不平等，但他从不告诉我他是怎么取得成绩的。给人的印象是这是天才的一笔这让他找到了通向解决方案的狭窄通道。是的简直就像从帽子里拔出一只兔子他的朋友走了多远，绕了一圈问道：“他到底在哪里？”明白这些想法了吗？”

恩尼奥德乔治的进步是闪电般的快，他能够得出结论在几个月内解决这个问题。还有一个问题：他需要发言和他的上司毛罗·皮科内在一起。在那些日子里，对一个数学家来说这是不可想象的自己解决问题。即使事情在变，这种类型他们的行为会导致科学上的排斥，因为研究只是做的在特定的“学校”中。例如，在分析中，Picone领导罗马的学校，那不勒斯的卡洛·米兰达，比萨的利昂尼达·托内利，乔瓦尼在佛罗伦萨的桑森，等等。“埃尼奥后来告诉我，在他们夏天之后他和斯塔姆帕奇亚不得不面对两宗罪的忏悔问题“皮孔，”马里奥·米兰达写道。“斯坦帕奇亚不应该把工作分配给伟大领袖的保护，恩尼奥不应该不请自来老板的许可。德乔治认为他必须解决这些问题也就是意大利数学联合会大会1955年10月6日至9日在帕维亚举行。

因此，德乔治去和他的主管谈话，他毫不费力地决定做什么。“Picone在瞬间解决了所有问题，”继续说道米兰达。“结果的重要性对他的研究所是有益的，而且他的角色是担心他会证明他的下属不服从，保留决定结果正式方式的权利已发布。”

帕维亚大会的那一天到了，德乔治在吉斯利里学院和他的同事马里奥·库齐奥。“我第一次见到他“回忆起科尔齐奥”我记得我在凌晨4点听到敲门声。“是谁？“是我，德乔治。”埃尼奥进来，坐在桌子旁说：“对不起，如果我一直开着灯，我得为明天准备一个研讨会。”我看着他一会儿就睡着了。我记得第二天费希拉和斯坦帕奇亚向他表示祝贺。”

德乔治争分夺秒地在这次大会上提出了新的结果。“他更改了他的演讲题目，“卡洛·斯博登说。论文最后作为几何测度理论和希尔伯特第十九问题的混合体。对他的一些朋友来说，德乔治给人的印象是困惑和没有完全意识到他所取得结果的重要性。但他的想法非常清楚。“他在帕维亚所说的关于希尔伯特第十九个问题的话，正是他所说的“在接下来的几个月里实现，”斯博登解释说。

正如Picone所希望的，最终的论文于1957年3月以意大利语发表《都灵纪念报》，题为《可微性，分析性，积分性，多重正则性》，这就是德乔治的伟大成就世界已经等待了半个多世纪，发表在一本杂志上几乎不为国际观众所知。“当出版的时候完整的演示，“向皮奇尼尼倾诉德乔治。”皮孔对我说：“它我们已经很久没有给都灵的科学院送东西了，我们在那儿发表吧，‘我没有勇气告诉他我认为结果可能值得在另一本杂志上发表。”

事实上，这篇论文意义重大，因此没有被长期隐藏。但是这个消息在美国的反响来得太晚了，纳什一直在那里献身他所有的精力都集中在同一个目标上，在最后时刻还没有准备好放弃。回想起来，事情以这种方式发展可能更好。对于那些不要把数学看作是一种竞赛，事实上不同的智力可以达到同样的结果通过不同的推理是丰富的，而不是浪费精力。这是因为通常情况下，结果不仅重要，而且重要的是所走的道路去接近它。为证明复杂定理而开发的工具通常是有助于解决新问题，建设更先进的理论和开放新的研究之门。“有件事可能对我在抛物方程是汉密尔顿和佩雷尔曼，最近，都有开发并使用了与热方程相关的“熵估计”约翰纳什“我（也许）是第一个在这种联系中使用熵的人。”

在20世纪50年代出版后，德乔治的示威活动对科学界的强烈影响。“每个人都对他的工作感兴趣”，前苏联数学家奥尔加·拉德琴斯卡娅写信给我想问一下我是否能把手稿寄给她如果她真的遇到了1958年，他亲自出席了在爱丁堡举行的国际数学家大会。她带着一张简短的便条回到俄罗斯，便条上有示威并把他们留给了尼娜·乌拉尔塞娃，她年轻的博士生成为圣徒大学数学物理系主任彼得堡。尼娜·乌拉尔特塞瓦能够重建演示并将其用于她的论文。“这不容易，”乌拉采娃解释说，“但我对这项工作很熟悉俄罗斯数学家亚历山德格里戈里耶维奇·西格洛夫对此帮助很大。”

最终，在一本被认为是偏微分理论里程碑的书，Ladyzhenskaya和Uraltseva在1968年发表的《线性和拟线性椭圆方程》中写道，：“本书没有阐述莫雷（Morrey），米兰达，纳什所用的方法和技术，以及Aleksandrov和Stampacchia工作。它与专门研究微分方程是唯一对作者是De Giorgi的文章，他们从中使用了处理解决方案的思想集{x；u（x）>k}  上的u（x）和一个简单但非常有用的不等式(…).”德乔治的证明方法一直是标准，直到1960年，德裔美国人Jürgen Moser提供了另一种选择：De Giorgi定理的新证明是关于椭圆微分方程正则性问题的定理。“Moser的证明结果比Nash和De的都有效得多“乔治的，所以它已经成为通用的方法，”丹·斯特罗克说麻省理工学院西蒙斯教授，研究纳什详细演示。事实上，现在人们通常称之为“德乔治-纳什-莫斯”定理。但该领域的专家之一，路易斯·卡法雷利（Luis Caffarelli）评论道：“我个人感觉莫瑟的不不等式更受欢迎，因为它是写在泛函分析框架下，这使得它看起来更简单；但是乔治的，写在一个更几何的背景下，更容易在一些问题应用。”