梅森素数 判定总结 - Lucas-Lehmer算法 & Miller-rabin算法

梅森素数

定义：

• if m是一个正整数 and 2^m-1是一个素数 then m是素数
• if m是一个正整数 and m是一个素数 then M(m)=2^m-1被称为第m个梅森数
• if p是一个素数 and M(p)是一个素数 then M(p)被称为梅森素数

Lucas-Lehmer判定法：判定一个梅森数是否是梅森素数

设p是素数，第p个梅森数为M(p)为2^p-1,r1 = 4,对于k >= 2

r(k) = r(k+1)^2-2(modM(p)), 0 <= r(k) <= M(p)

可以得到r(k)序列,则有M(p)是素数，当且仅当r(p-1) = 0(mod M(p))

推论:设p是素数，M(p)为第p个梅森数，则算法复杂度为O(n^3)

梅森素数 - nefu 120

思路：R.1 = 4;R.k = (R.k-1 ^ 2 - 2) % Mp;

如果R.p-1 == 0，则是梅森素数，否则不是。
特殊判断:p == 2，即Mp = 3是梅森素数。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>

using namespace std;
typedef long long ll;

ll multi(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ret = 0;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)
        {
            ret = (ret+a)%m;
        }
        b >>= 1;
        a = (a<<1)%m;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    ll sum = 1, data[66], tmp;
    int n, p;
    data[1] = 4;
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        sum = 1;
        cin >> p;
        sum <<= p;
        sum -= 1;
        for(int i = 2; i <= p-1; i++)
        {
            tmp = multi(data[i-1],data[i-1],sum);
            data[i] = (tmp-2)%sum;
        }
        if(p == 2)
            cout << "yes" << endl;
        else
        {
            if(data[p-1] == 0)
                cout << "yes" <<endl;
            else
                cout << "no" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

模板：

long long multi(long long a, long long b, long long m){//实现a * b % m的操作,用2 * 3 = 6模拟一下就懂了
    long long ans = 0;
    while(b > 0){
        if(b & 1)  ans = (ans+a) % m;
        b >>= 1;
        a = (a<<1) % m;
    }
    return ans;
}
//判断是否是梅森素数
bool is_msPrime(int p){
    long long r[70];
    long long m = 1;
    m <<= p;  m -=1;//求出Mp;
    r[1] = 4LL;
    if(p == 2)  return true;
    for(int i = 2; i <= p-1; ++i)
        r[i] = (multi(r[i-1],r[i-1],m)-2) % m;
    if(r[p-1] == 0)  return true;
    return false;
}

Miller-rabin 素数测试：直接判断M(p)是不是素数

理论知识：

费马小定理： 对于素数p和任意整数a，有ap ≡ a(mod p)（同余）。反过来，满足ap ≡ a(mod p)，p也几乎一定是素数。

伪素数： 如果n是一个正整数，如果存在和n互素的正整数a满足 an-1 ≡ 1(mod n)，我们说n是基于a的伪素数。如果一个数是伪素数，那么它几乎肯定是素数。

Miller-Rabin测试： 不断选取不超过n-1的基b(s次)，计算是否每次都有bn-1 ≡ 1(mod n)，若每次都成立则n是素数，否则为合数。

还有一个定理，能提高Miller测试的效率：

二次探测定理： 如果p是奇素数，则 x2 ≡ 1(mod p)的解为 x = 1 || x = p - 1(mod p);

两个高效求解a*b%m a^b%m的方法

// a * b % n
//例如: b = 1011101那么a * b mod n = (a * 1000000 mod n + a * 10000 mod n + a * 1000 mod n + a * 100 mod n + a * 1 mod n) mod n 

ll mod_mul(ll a, ll b, ll n) {
    ll res = 0;
    while(b) {
        if(b&1)    res = (res + a) % n;
        a = (a + a) % n;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

//a^b % n
//同理
ll mod_exp(ll a, ll b, ll n) {
    ll res = 1;
    while(b) {
        if(b&1)    res = mod_mul(res, a, n);
        a = mod_mul(a, a, n);
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

代码如下：

bool miller_rabin(ll n) {
    if(n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 7 || n == 11)    return true;
    if(n == 1 || !(n%2) || !(n%3) || !(n%5) || !(n%7) || !(n%11))    return false;

    ll x, pre, u;
    int i, j, k = 0;
    u = n - 1;    //要求x^u % n

    while(!(u&1)) {    //如果u为偶数则u右移，用k记录移位数
        k++; u >>= 1;
    }

    srand((ll)time(0));
    for(i = 0; i < S; ++i) {    //进行S次测试
        x = rand()%(n-2) + 2;    //在[2, n)中取随机数
        if((x%n) == 0)    continue;

        x = mod_exp(x, u, n);    //先计算(x^u) % n，
        pre = x;
        for(j = 0; j < k; ++j) {    //把移位减掉的量补上，并在这地方加上二次探测
            x = mod_mul(x, x, n);
            if(x == 1 && pre != 1 && pre != n-1)    return false;    //二次探测定理，这里如果x = 1则pre 必须等于 1，或则 n-1否则可以判断不是素数
            pre = x;
        }
        if(x != 1)    return false;    //费马小定理
    }
    return true;
}