数学分析教程.上下册.常庚哲+史济怀

notes by zyxw

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001 - 2003.09.01 （2018.02.27）

1. 实数和数列极限

1.1 数轴

1.1.1 三角不等式

对任意实数 \(x\) 与 \(y\) ，有：

\[-\left | x \right |\leqslant x\leqslant \left | x \right | \\-\left | y \right |\leqslant y\leqslant \left | y \right |\]

两不等式相加，得：

\[-\left ( \left | x \right | +\left | y \right |\right )\leqslant x+y\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |\]

等价于

\[\left | x+y \right |\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |\]

1.1.2 定义：有理数

任意有理数都可以表示为两个整数之商：

\[x=\frac{p}{q} \\p , q \in \mathbb{Z} , q \neq 0\]

• 有理数经过加减乘除四则运算之后，仍为有理数 .

1.1.3 定理：有理数是稠密的 .

设 \(q\) 是任意正整数，对于固定的实数 \(x\) ，一定可找出一个整数 \(p\) ，使得：

\[\frac{p}{q}\leqslant x< \frac{p+1}{q} \\\Leftrightarrow 0\leqslant x-\frac{p}{q}< \frac{1}{q} \\\Leftrightarrow \left | x-\frac{p}{q} \right |< \frac{1}{q}\]

因为 \(q\) 任意取值，所以可取充分大，使 \(\frac{1}{q}\) 充分小,可得：任意实数都能用有理数任意逼近 .

即：有理数在数轴上是稠密的 .

• 稠密 ：在充分小区间中，总能找到一个有理数 . \(\Leftrightarrow\) 无穷多个有理数 .

但是！与无理数相比，有理数的数量可以忽略不计 .

1.1.4 定理：有理数是不连续的 .

例：$n\in \mathbb{N}^{\ast} $ ，且不是完全平方数，证明 \(\sqrt{n}\) 不是有理数 .

解：根据有理数定义，反证法 . 因为正整数不可能无穷递降，所以 \(\sqrt{n}\neq \frac{p}{q}\) ，反证 \(n\) 不是有理数 .

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1.2 无尽小数（无穷小数）

1.2.1 定义：无穷小数（等价于实数）

• 实数\(\Leftrightarrow\)无穷小数

  • 有理数\(\Leftrightarrow\)无穷循环小数 或 有穷小数
  • 无理数\(\Leftrightarrow\)无穷不循环小数

1.2.2 实数的连续性

数轴上，每一个实数都对应数轴上的一个点（在证明 闭区间套定理 之后才成立）。

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1.3 数列和收敛数列

1.3.1 定义：极限

设 \(\left \{ a_{n} \right \}\) 是一个实数列，\(a\) 是一个实数 .

\[\forall \varepsilon > 0 , \exists N\in \mathbb{N}^{\ast } , n> N : \\\left | a_{n} -a\right |< \varepsilon \]

• 或者 $a-\varepsilon < a_{n}< a+\varepsilon $ （ \(a\) 的 \(\varepsilon\) - 邻域）.

• 上述定义的意思：

  • 当 \(n\) 很大时，\(a_{n}\)无限接近\(a\) .

这时，称 \(a_{n}\) 以 \(a\) 为极限，记为：

\[\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=a \\or \\a_{n}\rightarrow a ( n \to \infty )\]

1.3.2 极限证明题的技巧

• 放缩法
• 二项式展开
• 取对数
• 均值不等式
• ……

1.3.3 定义：收敛数列、发散数列

收敛数列 ：存在极限的数列

发散数列 ：不存在极限的数列

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