EM算法的python实现的方法步骤

前言：前一篇文章大概说了EM算法的整个理解以及一些相关的公式神马的，那些数学公式啥的看完真的是忘完了，那就来用代码记忆记忆吧！接下来将会对python版本的EM算法进行一些分析。

EM的python实现和解析

引入问题（双硬币问题）

假设有两枚硬币A、B，以相同的概率随机选择一个硬币，进行如下的抛硬币实验：共做5次实验，每次实验独立的抛十次，结果如图中a所示，例如某次实验产生了H、T、T、T、H、H、T、H、T、H，H代表正面朝上。

假设试验数据记录员可能是实习生，业务不一定熟悉，造成a和b两种情况

a表示实习生记录了详细的试验数据，我们可以观测到试验数据中每次选择的是A还是B

b表示实习生忘了记录每次试验选择的是A还是B，我们无法观测实验数据中选择的硬币是哪个

问在两种情况下分别如何估计两个硬币正面出现的概率？

以上的针对于b实习生的问题其实和三硬币问题类似，只是这里把三硬币中第一个抛硬币的选择换成了实习生的选择。

对于已知是A硬币还是B硬币抛出的结果的时候，可以直接采用概率的求法来进行求解。对于含有隐变量的情况，也就是不知道到底是A硬币抛出的结果还是B硬币抛出的结果的时候，就需要采用EM算法进行求解了。如下图：

其中的EM算法的第一步就是初始化的过程，然后根据这个参数得出应该产生的结果。

构建观测数据集

针对这个问题，首先采集数据，用1表示H（正面），0表示T（反面）：

#硬币投掷结果
observations = numpy.array([[1,0,0,0,1,1,0,1,0,1],
            [1,1,1,1,0,1,1,1,0,1],
            [1,0,1,1,1,1,1,0,1,1],
            [1,0,1,0,0,0,1,1,0,0],
            [0,1,1,1,0,1,1,1,0,1]])

第一步：参数的初始化

参数赋初值

第一个迭代的E步

抛硬币是一个二项分布，可以用scipy中的binom来计算。对于第一行数据，正反面各有5次，所以：

#二项分布求解公式
contribution_A = scipy.stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_A)
contribution_B = scipy.stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_B)

将两个概率正规化，得到数据来自硬币A，B的概率：

weight_A = contribution_A / (contribution_A + contribution_B)
weight_B = contribution_B / (contribution_A + contribution_B)

这个值类似于三硬币模型中的μ，只不过多了一个下标，代表是第几行数据（数据集由5行构成）。同理，可以算出剩下的4行数据的μ。

有了μ，就可以估计数据中AB分别产生正反面的次数了。μ代表数据来自硬币A的概率的估计，将它乘上正面的总数，得到正面来自硬币A的总数，同理有反面，同理有B的正反面。

#更新在当前参数下A，B硬币产生的正反面次数
 counts['A']['H'] += weight_A * num_heads
 counts['A']['T'] += weight_A * num_tails
 counts['B']['H'] += weight_B * num_heads
 counts['B']['T'] += weight_B * num_tails

第一个迭代的M步

当前模型参数下，AB分别产生正反面的次数估计出来了，就可以计算新的模型参数了：

new_theta_A = counts['A']['H']/(counts['A']['H'] + counts['A']['T'])
new_theta_B = counts['B']['H']/(counts['B']['H'] + counts['B']['T'])

于是就可以整理一下，给出EM算法单个迭代的代码：

def em_single(priors,observations):

  """
  EM算法的单次迭代
  Arguments
  ------------
  priors:[theta_A,theta_B]
  observation:[m X n matrix]

  Returns
  ---------------
  new_priors:[new_theta_A,new_theta_B]
  :param priors:
  :param observations:
  :return:
  """
  counts = {'A': {'H': 0, 'T': 0}, 'B': {'H': 0, 'T': 0}}
  theta_A = priors[0]
  theta_B = priors[1]
  #E step
  for observation in observations:
    len_observation = len(observation)
    num_heads = observation.sum()
    num_tails = len_observation-num_heads
    #二项分布求解公式
    contribution_A = scipy.stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_A)
    contribution_B = scipy.stats.binom.pmf(num_heads,len_observation,theta_B)

    weight_A = contribution_A / (contribution_A + contribution_B)
    weight_B = contribution_B / (contribution_A + contribution_B)
    #更新在当前参数下A，B硬币产生的正反面次数
    counts['A']['H'] += weight_A * num_heads
    counts['A']['T'] += weight_A * num_tails
    counts['B']['H'] += weight_B * num_heads
    counts['B']['T'] += weight_B * num_tails

  # M step
  new_theta_A = counts['A']['H'] / (counts['A']['H'] + counts['A']['T'])
  new_theta_B = counts['B']['H'] / (counts['B']['H'] + counts['B']['T'])
  return [new_theta_A,new_theta_B]

EM算法主循环

给定循环的两个终止条件：模型参数变化小于阈值；循环达到最大次数，就可以写出EM算法的主循环了

def em(observations,prior,tol = 1e-6,iterations=10000):
  """
  EM算法
  ：param observations :观测数据
  ：param prior：模型初值
  ：param tol：迭代结束阈值
  ：param iterations：最大迭代次数
  ：return：局部最优的模型参数
  """
  iteration = 0;
  while iteration < iterations:
    new_prior = em_single(prior,observations)
    delta_change = numpy.abs(prior[0]-new_prior[0])
    if delta_change < tol:
      break
    else:
      prior = new_prior
      iteration +=1
  return [new_prior,iteration]

调用

给定数据集和初值，就可以调用EM算法了：

print em(observations,[0.6,0.5])

得到

[[0.72225028549925996, 0.55543808993848298], 36]

我们可以改变初值，试验初值对EM算法的影响。

print em(observations,[0.5,0.6])

结果：

[[0.55543727869042425, 0.72225099139214621], 37]

看来EM算法还是很健壮的。如果把初值设为相等会怎样？

print em(observations,[0.3,0.3])

输出：[[0.64000000000000001, 0.64000000000000001], 1]

显然，两个值相加不为1的时候就会破坏这个EM函数。

换一下初值：

print em(observations,[0.99999,0.00001])

输出：[[0.72225606292866507, 0.55543145006184214], 33]

EM算法对于参数的改变还是有一定的健壮性的。