代价函数

现在来讨论神经网络模型的代价函数。首先有如下定义：

• L：网络中的层数
• $ s_l $：第l层中的单元数（不包括偏差单元）
• K：输出单元个数

我们记$ h_Θ(x)_k $表示第k个输出单元。回顾在逻辑回归中，我们使用如下代价函数：

$$J(θ) = - \frac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m [y^{(i)}\log (h_θ (x^{(i)})) + (1 - y^{(i)})\log (1 - h_θ(x^{(i)}))] + \fracλ{2m}\sum_{j=1}^nθ_j^2$$

对于神经网络，看起来有些复杂：

$$J(θ) = - \frac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m\sum_{k=1}^K [y^{(i)}_k\log ((h_θ (x^{(i)}))_k) + (1 - y^{(i)}_k)\log (1 - (h_θ(x^{(i)}))_k)] + \fracλ{2m}\sum_{l=1}^{L-1}\sum_{i=1}^{s_l}\sum_{j=1}^{sl+1}(Θ_{j,i}^{(l)})^2$$

公式使用了一个嵌套的求和来计算输出单元的平均偏差。正则项部分，我们需要将L-1个Θ矩阵全部求和，同时每个矩阵是$ s_{j+1} × (s_j + 1) $维的。

总之：

• 双重嵌套求和试图将全部样本的每个分类输出值求和。
• 三重嵌套求和试图整个网络的每个Θ求和。
• 三重嵌套循环中的i，跟第i个训练样本无关，不是一个概念。

反向传播(BP)算法

如果梯度下降是一个最小化回归模型的方法，那么术语反向传播(Backpropagation)用于最小化神经网络模型。我们的目标依旧是$ min_ΘJ(Θ) $，这表示我们试图找到最优的参数$ Θ $来最小化代价函数$ J(Θ) $。本节介绍如何通过Backpropagation计算$ J(Θ) $的偏导数：

$$\frac∂{∂Θ^{(l)}_{i,j}}J(Θ)$$

首先给出BP算法的实现步骤：

假设训练数据集如下

$$ \lbrace (x^{(1)}, y^{(1)}) \cdots (x^{(m)}, y^{(m)})\rbrace$$

设$ Δ^{(l)}_{ij} $为全0矩阵。

for t=1 to m

1. 设$ a^{(1)} := x^{(t)} $
2. 通过正向计算，分别算得$ a^{(l)}\space l=2,3...L $
3. 根据实际结果$ y^{(t)} $，计算 $ \delta^{(L)} = a^{(L)} - y^{(t)} $。由于L是总的层数，所以$ a^{(L)} $其实是是通过模型得到的输出向量。所以第L层的偏差可以直接通过训练集的实际结果向量y得到。其他层的偏差则是从右往左的顺序依次计算：
4. $ \delta^{(L-1)} $,$ \delta^{(L-2)} $,...$ \delta^{2} $，公式为：$ \delta^{(l)} = ((Θ^{(l)})^T)\delta^{(l+1)} .* a^{(l)} .* ( 1 - a^{(l)}) $ 要计算第l层的偏差，首先将第l层的Θ矩阵与下一层的偏差向量相乘。放大项$ a^{(l)} .* ( 1 - a^{(l)}) $实际是激励函数g的导数：$ g'(z^{(l)} = a^{(l)} .* ( 1 - a^{(l)}) $
5. $ Δ^{(l)} := Δ^{(l)} + \delta^{(l+1)}(a^{(l)})^T $

最后，计算

$$\frac∂{∂Θ^{(l)}_{i,j}}J(Θ) = D^{(l)}_{i,j} $$

$$D^{(l)}_{i,j} := \frac{1}{m}\left(\Delta^{(l)}_{i,j} + \lambda\Theta^{(l)}_{i,j}\right)\space\space ,j≠0$$

$$D^{(l)}_{i,j} := \frac{1}{m}\left(\Delta^{(l)}_{i,j} \right)\space\space ,j=0$$

上述算法就是BP算法，确实是个比较难理解的算法，有兴趣的可以参阅如何直观地解释 back propagation 算法？，帮助理解。

得到了J(Θ)的偏导数，意味着得到了梯度，模型就可以训练出Θ。

梯度检查

BP算法有很多细节，这些细节可能导致错误的算法实现。我们可以用梯度检查的方法，验证算法是否准确。这种方法也称为数值梯度检查(Numerical Gradient Checking)：

如上图，当前我们希望求解J(Θ)在Θ处的导数（即梯度）时，我们可以选取一个很小的$ \epsilon $，分别计算$ J(\Theta + \epsilon) $和$ J(\Theta - \epsilon) $，这两个点的连线应近似等于Θ处的切线方向，只要$ \epsilon $越接近于0，就越准确。因此可以得到如下公式计算导数：

$$\frac{\partial}{\partial\Theta}J(\Theta) \approx \frac{J(\Theta + \epsilon) - J(\Theta - \epsilon)}{2\epsilon}$$

$ \epsilon $通常取值为$ 10^{-4} $。当Θ是一个多值矩阵时，用如下公式分别计算每个$ Θ_j $的梯度：

$$\frac{\partial}{\partial\Theta_j}J(\Theta) \approx \frac{J(\Theta_1, \dots, \Theta_j + \epsilon, \dots, \Theta_n) - J(\Theta_1, \dots, \Theta_j - \epsilon, \dots, \Theta_n)}{2\epsilon}$$

一旦验证BP算法正确，应该停止使用梯度检查，因为这通常很耗时间，这也是为什么不用数值梯度算法来计算梯度，BP是相对更高效的算法。

随机初始化

当使用梯度下降法时，需要设置Θ初始值。在逻辑回归中，我们可以把初始的Θ设置为0。但在神经网络中，这么做可能会导致同一层单元，其激励值与误差δ相同。进而每次更新，参数对应的每个输入到隐藏层的值是相同的。

通俗的说，当某一层的$ Θ^{(j)} $表示的权重相同的话，会导致下一层的单元计算结果全部相同，这意味着，特征在传递到下层时，全部压缩为一个特征了。

我们把这种现象称为对称性(Symmetry)，可以通过类似如下方法打破对称性(Symmetry Breaking)，使初始化θ在 [-ε, ε] 的区间内：

If the dimensions of Theta1 is 10x11, Theta2 is 10x11 and Theta3 is 1x11.
Theta1 = rand(10,11) * (2 * INIT_EPSILON) - INIT_EPSILON;
Theta2 = rand(10,11) * (2 * INIT_EPSILON) - INIT_EPSILON;
Theta3 = rand(1,11) * (2 * INIT_EPSILON) - INIT_EPSILON;

训练神经网络

首先，选择一个神经网络架构，有多少层，每层有多少个单元：

• 输入单元数：特征$ x^{(i)} $的维度
• 输出单元数：分类数量
• 每个隐藏层的单元数：通常多多益善，但要平衡计算成本。默认使用1个隐藏层，如果多于1个隐藏层，推荐每层的单元数保持相同。

接下来：

1. 随机初始化权重Θ
2. 对每一个$ x^{(i)} $使用前向传导计算$ h_θ(x^{(i)}) $
3. 实现代价函数J(Θ)
4. 实现反向传导计算偏导数
5. 使用梯度检查，确保反向传播算法正确。然后关闭梯度检查
6. 使用梯度下降或其他优化函数最小化代价函数

理想情况下，$ h_\Theta(x^{(i)}) \approx y^{(i)} $，但由于J(Θ)可能是non-convex的，所以，你可能会得到局部最优解。