【LeetCode-数学/二分查找】x 的平方根

computermaths 2020-05-09

题目描述

实现?int sqrt(int x)?函数。
计算并返回?x?的平方根,其中?x 是非负整数。
由于返回类型是整数,结果只保留整数的部分,小数部分将被舍去。
示例:

输入: 4
输出: 2

输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842..., 
     由于返回类型是整数,小数部分将被舍去。

题目链接: https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx/

思路1

在 1~x 范围内遍历,对于当前的数字 i:

  • 如果 i == x / i (防溢出),则 i 就是 x 的平方根;
  • 如果 i > x / i (防溢出),则 i-1 就是 x 的平方根;

代码如下:

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;
        for(int i=1; i<=x; i++){
            if(i==x/i) return i;    // 不能写成 if(i*i==x),会溢出
            if(i>x/i) return i-1;   // 不能写成 if(i*i>x),会溢出
        }
        return 0;
    }
};
  • 时间复杂度:O(sqrt(x))
  • 空间复杂度:O(1)

思路2

上面的代码是顺序查找,可以写成二分查找加快速度。注意二分查找不能写成如下形式:

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;

        int left = 1, right = x;
        while(left<=right){
            int mid = left + (right-left)/2;
            if(mid == x/mid) return mid;
            else if(mid > x/mid){
                right = mid-1;
            }else if(mid < x/mid){
                left = mid+1;
            }
        }
        return 0;
    }
};

这就是普通的二分查找,这样写有一个问题,就是只有对平方根原本就是整数的数才会返回正确的结果,例如,4 的平方根是 2,能返回正确的结果,而 8 的平方根是 2.82842,不能返回正确的结果。
正确的写法如下:

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;

        int left = 1, right = x;
        int ans = -1;
        while(left<=right){
            int mid = left + (right-left)/2;
            if(mid <= x/mid){
                ans = mid;
                left = mid+1;
            }else{
                right = mid-1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

mid <= x/mid时,我们将 ans 更新为 mid,mid 更新为 mid+1,逐渐逼近真实的平方根。

  • 时间复杂度:O(logx)
  • 空间复杂度:O(1)

思路3

使用牛顿迭代法。牛顿迭代法是一种快速找函数零点的方法,求 C 的平方根就是找函数 f(x) = x^2 - C 的零点。牛顿迭代法的过程如下:

  • 选择一个初始点(x0, f(x0)),以该点以及该点的斜率(2*x0)做一条切线,该切线与 x 轴的相交点为 (x1, 0);
  • 以 x1 作垂线与函数 f(x) 的交点为 (x1, f(x1)),重复上面的步骤,我们就可以得到一个距离零点非常近的点。

【LeetCode-数学/二分查找】x 的平方根
下面计算 \(x_i\)\(x_{i+1}\) 之间的关系,过点 \((x_{i}, f(x_{i}))\) 且斜率为 \(2x_i\) 的直线方程为
【LeetCode-数学/二分查找】x 的平方根
该直线与 x 轴的交点就是 \(x_{i+1}\)。令 y=0,得
【LeetCode-数学/二分查找】x 的平方根
\(x_i\)\(x_{i+1}\) 相差非常小时(例如相差 1e-6 或者 1e-7),我们就认为 \(int(x_i)\) 是零点,也就是我们要求的平方根。
代码如下:

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;

        double C = x, curX = x;
        while(true){
            double nextX = 0.5 * (curX + C/curX);
            if(fabs(nextX - curX)<1e-7){
                break;
            }
            curX = nextX;
        }
        return int(curX);
    }
};
  • 时间复杂度:O(logn)
  • 空间复杂度:O(1)

思路4

使用数学的方法(被称为“袖珍计算器算法”):
【LeetCode-数学/二分查找】x 的平方根
需要注意的是,由于计算机无法存储精确的浮点数,所以这种方法求得的答案 ans 会有误差。例如,对于数字 2147395600,\(e^{\frac{1}{2}lnx}\)的结果 46639 与正确答案 46640 相差 \(10^{-11}\)。所以,我们求得 ans 后需要判断 ans 和 ans+1 哪一个才是正确的答案。代码如下:

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x==0) return 0;

        int ans = exp(0.5 * log(x));
        if((ans+1)<=x/(ans+1)) return ans+1;
        else return ans;
    }
};
  • 时间复杂度:O(1)
  • 空间复杂度:O(1)

参考

1、https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx/solution/x-de-ping-fang-gen-by-leetcode-solution/

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