js数据结构-二叉树（二叉搜索树）

前言

可能有一部分人没有读过我上一篇写的二叉堆，所以这里把二叉树的基本概念复制过来了，如果读过的人可以忽略前面针对二叉树基本概念的介绍，另外如果对链表数据结构不清楚的最好先看一下本人之前写的js数据结构-链表

二叉树

二叉树(Binary Tree)是一种树形结构，它的特点是每个节点最多只有两个分支节点，一棵二叉树通常由根节点，分支节点，叶子节点组成。而每个分支节点也常常被称作为一棵子树。

• 根节点：二叉树最顶层的节点
• 分支节点：除了根节点以外且拥有叶子节点
• 叶子节点：除了自身，没有其他子节点

常用术语
在二叉树中，我们常常还会用父节点和子节点来描述，比如图中2为6和3的父节点，反之6和3是2子节点

二叉树的三个性质

1. 在二叉树的第i层上，至多有2^i-1个节点

   • i=1时，只有一个根节点，2^(i-1) = 2^0 = 1

2. 深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点

   • i=2时，2^k-1 = 2^2 - 1 = 3个节点
3. 对任何一棵二叉树T，如果总结点数为n0，度为2(子树数目为2)的节点数为n2,则n0=n2+1

树和二叉树的三个主要差别

• 树的节点个数至少为1，而二叉树的节点个数可以为0
• 树中节点的最大度数(节点数量)没有限制,而二叉树的节点的最大度数为2
• 树的节点没有左右之分，而二叉树的节点有左右之分

二叉树分类

二叉树分为完全二叉树(complete binary tree)和满二叉树(full binary tree)

• 满二叉树：一棵深度为k且有2^k - 1个节点的二叉树称为满二叉树
• 完全二叉树：完全二叉树是指最后一层左边是满的，右边可能满也可能不满，然后其余层都是满的二叉树称为完全二叉树(满二叉树也是一种完全二叉树)

二叉搜索树

二叉搜索树满足以下的几个性质：

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
• 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
• 任意节点的左、右子树也需要满足左边小右边大的性质

我们来举个例子来深入理解以下

一组数据：12,4,18,1,8,16,20
由下图可以看出，左边的图满足了二叉树的性质，它的每个左子节点都小于父节点，右子节点大于其父节点，同时左子树的节点都小于根节点，右子树的节点都大于根节点

二叉搜索树主要的几个操作：

• 查找（search）
• 插入（insert）
• 遍历（transverse）

二叉树搜索树的链式存储结构

通过下图，可以知道二叉搜索树的节点通常包含4个域，数据元素，分别指向其左，右节点的指针和一个指向父节点的指针所构成，一般把这种存储结构称为三叉链表。

用代码初始化一个二叉搜索树的结点：

• 一个指向父亲节点的指针 parent
• 一个指向左节点的指针 left
• 一个指向右节点的指针 right
• 一个数据元素，里面可以是一个key和value

class BinaryTreeNode {
        constructor(key, value){
            this.parent = null;
            this.left = null;
            this.right = null;
            this.key = key;
            this.value = value;
        }
    }

接着我们再用代码去初始化一个二叉搜索树

• 在二叉搜索树中我们会维护一个root指针，这个就相当于链表中的head指针，在没有任何节点插入的时候它指向空，在有节点插入以后它指向根节点。

class BinarySearchTree {
        constructor() {
            this.root = null;
        }
    }

创建节点

static createNode(key, value) {
        return new BinarySearchTree(key, value);
    }

插入操作

看下面这张图，13是我们要插入的节点，它插入的具体步骤：

1. 跟根节点12做比较，比12大，所以我们确定了，这个节点是往右子树插入的
2. 而根节点的右边已经有节点，那么跟这个节点18做比较，结果小于18所以往18的左节点找位置
3. 而18的左节点也已经有节点了，所以继续跟这个节点做比较，结果小于16
4. 刚好16的左节点是空的(left=null)，所以13这个节点就插入到了16的左节点

通过上面的描述，我们来看看代码是怎么写的

• 定义两个指针，分别是p和tail，最初都指向root，p是用来指向要插入的位置的父节点的指针，而tail是用来查找插入位置的，所以最后它会指向null，用上图举个例子，p最后指向了6这个节点，而tail最后指向了null（tail为null则说明已经找到了要插入的位置）
• 循环，tail根据我们上面分析的一步一步往下找位置插入，如果比当前节点小就往左找，大则往右找，一直到tail找到一个空位置也就是null
• 如果当前的root为null，则说明当前结构中并没有节点，所以插入的第一个节点直接为跟节点，即this.root = node
• 将插入后的节点的parent指针指向父节点

insert(node){
        let p = this.root;
        let tail = this.root;
        
        // 循环遍历，去找到对应的位置
        while(tail) {
            p = tail;
            // 要插入的节点key比当前节点小
            if (node.key < tail.key){
                tail = tail.left;
            }
            // 要插入的节点key比当前节点大
            else {
                tail = tail.right;
            }
        }
        
        // 没有根节点，则直接作为根节点插入
        if(!p) {
            this.root = node;
            return;
        }
        
        // p是最后一个节点，也就是我们要插入的位置的父节点
        // 比父节点大则往右边插入
        if(p.key < node.key){
            p.right = node;
        }
        // 比父节点小则往左边插入
        else {
            p.left = node;
        }
        
        // 指向父节点
        node.parent = p;

    }

查找

查找就很简单了，其实和插入差多，都是去别叫左右节点的大小，然后往下找

• 如果root = null, 则二叉树中没有任何节点，直接return，或者报个错什么的。
• 循环查找

search(key) {
        let p = this.root;
        if(!p) {
            return;
        }
        
        while(p && p.key !== key){
            if(p.key<key){
                p = p.right;
            }else{
                p = p.left;
            }
        }
        
        return p;
    }

遍历

• 中序遍历(inorder)：先遍历左节点，再遍历自己，最后遍历右节点，输出的刚好是有序的列表
• 前序遍历(preorder)：先自己，再遍历左节点，最后遍历右节点
• 后序遍历(postorder)：先左节点，再右节点，最后自己

最常用的一般是中序遍历，因为中序遍历可以得到一个已经排好序的列表，这也是为什么会用二叉搜索树排序的原因

根据上面对中序遍历的解释，那么代码就变的很简单，就是一个递归的过程，递归停止的条件就是节点为null

• 先遍历左节点-->yield* this._transverse(node.left)
• 遍历自己 --> yield* node
• 遍历左节点 --> yield* this._transverse(node.right)

transverse() {
        return this._transverse(this.root);
    }
    
    *_transverse(node){
        if(!node){
            return;
        }
        yield* this._transverse(node.left);
        yield node;
        yield* this._transverse(node.right)
    }

看上面这张图，我们简化的来看一下，先访问左节点4，再自己12，然后右节点18，这样输出的就刚好是一个4，12，18

补充：这个地方用了generater，所以返回的一个迭代器。可以通过下面这种方式得到一个有序的数组，这里的前提就当是已经有插入的节点了

const tree = new BinaryTree();
   //...中间省略插入过程
    
   // 这样就返回了一个有序的数组 
   var arr = [...tree.transverse()].map(item=>item.key);

完整代码

class BinaryTreeNode {
  constructor(key, value) {
    // 指向父节点
    this.p = null;

    // 左节点
    this.left = null;

    // 右节点
    this.right = null;

    // 键
    this.key = key;

    // 值
    this.value = value;
  }
}

class BinaryTree {
  constructor() {
    this.root = null;
  }

  static createNode(key, value) {
    return new BinaryTreeNode(key, value);
  }

  search(key) {
    let p = this.root;
    if (!p) {
      return;
    }

    while (p && p.key !== key) {
      if (p.key < key) {
        p = p.right;
      } else {
        p = p.left;
      }
    }

    return p;
  }

  insert(node) {
    // 尾指针的父节点指针
    let p = this.root;

    // 尾指针
    let tail = this.root;

    while (tail) {
      p = tail;
      if (node.key < tail.key) {
        tail = tail.left;
      } else {
        tail = tail.right;
      }
    }

    if (!p) {
      this.root = node;
      return;
    }

    // 插入
    if (p.key < node.key) {
      p.right = node;
    } else {
      p.left = node;
    }

    node.p = p;
  }

  transverse() {
    return this.__transverse(this.root);
  }

  *__transverse(node) {
    if (!node) {
      return;
    }
    yield* this.__transverse(node.left);
    yield node;
    yield* this.__transverse(node.right);
  }
}

总结

二叉查找树就讲完了哈，其实这个和链表很像的，还是操作那么几个指针，既然叫查找树了，它主要还是用来左一些搜索，还有就是排序了，另外补充一下，二叉查找树里找最大值和最小值也很方便是不是，如果你大致读懂了的话。
这篇文章我写的感觉有点乱诶，因为总感觉哪里介绍的不到位，让一些基础差的人会看不懂，如果有不懂或者文章哪里写错了，欢迎评论留言哈

后续

后续写什么呢，这个问题我也在想，排序算法，react第三方的一些模拟实现？，做个小程序组件库？还是别的，容我再想几个小时，因为可以，有建议的朋友们也可以留言说一下哈。
最后最后，最重要的请给个赞，请粉一个呢，谢谢啦