动态规划基础篇之最长公共子序列问题

一些概念：

（1）子序列： 一个序列A ＝ a1,a2,……an,中任意删除若干项，剩余的序列叫做A的一个子序列。也可以认为是从序列A按原顺序保留任意若干项得到的序列。

例如：

对序列 1,3,5,4,2,6,8,7来说，序列3,4,8,7 是它的一个子序列。

对于一个长度为n的序列，它一共有2^n 个子序列，有(2^n – 1)个非空子序列。

请注意：子序列不是子集，它和原始序列的元素顺序是相关的。

（2）公共子序列 ： 顾名思义，如果序列C既是序列A的子序列，同时也是序列B的子序列，则称它为序列A和序列B的公共子序列。

例如：

对序列 1,3,5,4,2,6,8,7和序列 1,4,8,6,7,5 来说

序列1,8,7是它们的一个公共子序列。

请注意： 空序列是任何两个序列的公共子序列。

例如： 序列1,2,3和序列4,5,6的公共子序列只有空序列。

（3）最长公共子序列

A和B的公共子序列中长度最长的（包含元素最多的）叫做A和B的公共子序列。

仍然用序列1,3,5,4,2,6,8,7和序列1,4,8,6,7,5

它们的最长公共子序列是：

1,4,8,7

1,4,6,7

最长公共子序列的长度是4 。

请注意: 最长公共子序列不唯一。

请大家用集合的观点来理解这些概念，子序列、公共子序列以及最长公共子序列都不唯一，所以我们通常说一个最长公共子序列，但显然最长公共子序列的长度是一定的。

最长公共子序列问题就是求序列A= a1,a2,……an, 和B = b1,b2,……bm,的一个最长公共子序列。

因为最长公共子序列不唯一，让我们把问题简化，如何求出两个序列的最长公共子序列长度呢？

你首先能想到的恐怕是暴力枚举？那我们先来看看：序列A有 2^n 个子序列，序列B有 2^m 个子序列，如果任意两个子序列一一比较，比较的子序列高达 2^(n+m) 对，这还没有算具体比较的复杂度。

或许你说，只有长度相同的子序列才会真正进行比较。那么忽略空序列，我们来看看：对于A长度为1的子序列有C(n,1)个，长度为2的子序列有C(n,2)个，……长度为n的子序列有C(n,n)个。对于B也可以做类似分析，即使只对序列A和序列B长度相同的子序列做比较，那么总的比较次数高达：

C(n,1)*C(m,1)*1 + C(n,2) * C(m,2) * 2+ …+C(n,p) * C(m,p)*p

其中p = min(m, n)。

吓着了吧？怎么办？试试使用动态规划算法！

我们用Ax表示序列A的连续前x项构成的子序列，即Ax= a1,a2,……ax, By= b1,b2,……by, 我们用LCS(x, y)表示它们的最长公共子序列长度，那原问题等价于求LCS(m,n)。为了方便我们用L(x, y)表示Ax和By的一个最长公共子序列。

让我们来看看如何求LCS(x, y)。我们令x表示子序列考虑最后一项

（1） Ax ＝ By

那么它们L(Ax, By)的最后一项一定是这个元素！

为什么呢？为了方便，我们令t = Ax = By, 我们用反证法：假设L(x,y)最后一项不是t，

则要么L(x,y)为空序列（别忘了这个），要么L(x,y)的最后一项是Aa＝Bb ≠ t, 且显然有a < x, b < y。无论是哪种情况我们都可以把t接到这个L(x,y)后面,从而得到一个更长的公共子序列。矛盾！

如果我们从序列Ax中删掉最后一项ax得到Ax-1,从序列By中也删掉最后一项by得到By-1，(多说一句角标为0时，认为子序列是空序列)，则我们从L(x,y)也删掉最后一项t得到的序列是L(x – 1, y - 1)。为什么呢？和上面的道理相同，如果得到的序列不是L(x - 1, y - 1)，则它一定比L(x - 1, y - 1)短（注意L（，）是个集合！），那么它后面接上元素t得到的子序列L(x,y)也比L(x - 1, y - 1)接上元素t得到的子序列短，这与L(x, y)是最长公共子序列矛盾。

因此L(x, y) = L(x - 1, y - 1) 最后接上元素t

LCS(Ax, By) = LCS(x - 1, y - 1) + 1

（2） Ax ≠ By

仍然设t = L(Ax, By), 或者L(Ax, By)是空序列（这时t是未定义值不等于任何值）。

则t ≠ Ax和t ≠ By至少有一个成立，因为t不能同时等于两个不同的值嘛！

（2.1） 如果t ≠ Ax，则有L(x, y)= L(x - 1, y)，因为根本没Ax的事嘛。

LCS(x,y) = LCS(x – 1, y)

（2.2） 如果t ≠ By,l类似L(x, y)= L(x , y - 1)

LCS(x,y) = LCS(x, y – 1)

可是，我们事先并不知道t，由定义，我们取最大的一个，因此这种情况下,有LCS(x,y) = max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))。

看看目前我们已经得到了什么结论：

LCS(x,y) =

(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By

(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By

这时一个显然的递推式，光有递推可不行，初值是什么呢？

显然，一个空序列和任何序列的最长公共子序列都是空序列！所以我们有:

LCS(x,y) =

(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By

(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By

(3) 0 如果x = 0或者y = 0

到此我们求出了计算最长公共子序列长度的递推公式。我们实际上计算了一个(n + 1)行(m + 1)列的表格（行是0..n，列是0..m)，也就这个二维度数组LCS(,)。

大概的伪代码如下：

输入序列A, B长度分别为n，m,计算二维表 LCS(int,int):

1. 
   
2. for x = 0 to n do
3. for y = 0 to m do
4. if (x == 0 || y == 0) then
5. LCS(x, y) = 0
6. else if (Ax == By) then
7. LCS(x, y) = LCS(x - 1,y - 1) + 1
8. else
9. LCS(x, y) = ) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))
10. endif
11. endfor
12. endfor

注意： 我们这里使用了循环计算表格里的元素值，而不是递归，如果使用递归需要已经记录计算过的元素，防止子问题被重复计算。

现在问题来了，我们如何得到一个最长公共子序列而仅仅不是简单的长度呢？其实我们离真正的答案只有一步之遥！

仍然考虑那个递推式，我们LCS(x,y)的值来源的三种情况：

（1） LCS(x – 1, y – 1) + 1如果Ax ＝ By

这对应L(x,y) = L(x,- 1 y- 1)末尾接上Ax

（2.1） LCS(x – 1, y) 如果Ax ≠ By且LCS(x – 1, y) ≥LCS(x, y – 1)

这对应L(x,y)= L(x – 1, y)

（2.2） LCS(x, y – 1) 如果Ax ≠ By且LCS(x – 1, y) <LCS(x, y – 1)

这对应L(x,y) = L(x, y – 1)

（3） 0 如果 x =0或者y = 0

这对应L(x,y)=空序列

注意(2.1)和(2.2) ，当LCS(x – 1, y) ＝ LCS(x, y – 1)时，其实走哪个分支都一样，虽然长度时一样的，但是可能对应不同的子序列，所以最长公共子序列并不唯一。

神奇吧？又一个类似的递推公式。可见我们在计算长度LCS(x,y)的时候只要多记录一些信息，就可以利用这些信息恢复出一个最长公共子序列来。就好比我们在迷宫里走路，走到每个位置的时候记录下我们时从哪个方向来的，就可以从终点回到起点一样。

另外，说一下复杂度？

时间复杂度时O(n * m)，空间也是O(n * m)

今天对LCS的讲解就到这里，聪明的你是不是已经蠢蠢欲动要AC问题啦？ 心动不如行动，赶快吧。

在这里，本宝宝找到了两个模板，先收藏着，等过段在细细琢磨琢磨，有新的收获再补充。

代码一是让你输入两个序列，然后输出最长公共子序列和长度。

代码二是让你输入三个序列，然后输出最长公共子序列的长度。

代码一：

1. 
   
2. #include <stdio.h>
3. #include <string.h>
4. #include <stdlib.h>
5. int LCSLength(char* str1, char* str2, int **b)
6. {
7. int i,j,length1,length2,len;
8. length1 = strlen(str1);
9. length2 = strlen(str2);
11. //双指针的方法申请动态二维数组
12. int **c = new int*[length1+1]; //共有length1+1行
13. for(i = 0; i < length1+1; i++)
14. c[i] = new int[length2+1];//共有length2+1列
16. for(i = 0; i < length1+1; i++)
17. c[i][0]=0; //第0列都初始化为0
18. for(j = 0; j < length2+1; j++)
19. c[0][j]=0; //第0行都初始化为0
21. for(i = 1; i < length1+1; i++)
22. {
23. for(j = 1; j < length2+1; j++)
24. {
25. if(str1[i-1]==str2[j-1])//由于c[][]的0行0列没有使用，c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素
26. {
27. c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
28. b[i][j]=0; //输出公共子串时的搜索方向
29. }
30. else if(c[i-1][j]>c[i][j-1])
31. {
32. c[i][j]=c[i-1][j];
33. b[i][j]=1;
34. }
35. else
36. {
37. c[i][j]=c[i][j-1];
38. b[i][j]=-1;
39. }
40. }
41. }
42. /*
43. for(i= 0; i < length1+1; i++)
44. {
45. for(j = 0; j < length2+1; j++)
46. printf("%d ",c[i][j]);
47. printf("");
48. }
49. */
50. len=c[length1][length2];
51. for(i = 0; i < length1+1; i++) //释放动态申请的二维数组
52. delete[] c[i];
53. delete[] c;
54. return len;
55. }
56. void PrintLCS(int **b, char *str1, int i, int j)
57. {
58. if(i==0 || j==0)
59. return ;
60. if(b[i][j]==0)
61. {
62. PrintLCS(b, str1, i-1, j-1);//从后面开始递归，所以要先递归到子串的前面，然后从前往后开始输出子串
63. printf("%c",str1[i-1]);//c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素
64. }
65. else if(b[i][j]==1)
66. PrintLCS(b, str1, i-1, j);
67. else
68. PrintLCS(b, str1, i, j-1);
69. }
71. int main(void)
72. {
73. char str1[100],str2[100];
74. int i,length1,length2,len;
75. printf("请输入第一个字符串：");
76. gets(str1);
77. printf("请输入第二个字符串：");
78. gets(str2);
79. length1 = strlen(str1);
80. length2 = strlen(str2);
81. //双指针的方法申请动态二维数组
82. int **b = new int*[length1+1];
83. for(i= 0; i < length1+1; i++)
84. b[i] = new int[length2+1];
85. len=LCSLength(str1,str2,b);
86. printf("最长公共子序列的长度为：%d",len);
87. printf("最长公共子序列为：");
88. PrintLCS(b,str1,length1,length2);
89. printf("");
90. for(i = 0; i < length1+1; i++)//释放动态申请的二维数组
91. delete[] b[i];
92. delete[] b;
93. system("pause");
94. return 0;
95. }

代码二：

1. 
   
2. #include <stdio.h>
3. #include <string.h>
4. #include <stdlib.h>
5. int max1(int m,int n)
6. {
7. if(m>n)
8. return m;
9. else
10. return n;
11. }
12. int max2(int x,int y,int z,int k,int m,int n)
13. {
14. int max=-1;
15. if(x>max)
16. max=x;
17. if(y>max)
18. max=y;
19. if(z>max)
20. max=z;
21. if(k>max)
22. max=k;
23. if(m>max)
24. max=m;
25. if(n>max)
26. max=n;
27. return max;
28. }
29. int LCSLength(char* str1, char* str2, char* str3) //求得三个字符串的最大公共子序列长度并输出公共子序列
30. {
31. int i,j,k,length1,length2,length3,len;
32. length1 = strlen(str1);
33. length2 = strlen(str2);
34. length3 = strlen(str3);
36. //申请动态三维数组
37. int ***c = new int**[length1+1]; //共有length1+1行
38. for(i = 0; i < length1+1; i++)
39. {
40. c[i] = new int*[length2+1]; //共有length2+1列
41. for(j = 0; j<length2+1; j++)
42. c[i][j] = new int[length3+1];
43. }
45. for(i = 0; i < length1+1; i++)
46. {
47. for(j = 0; j < length2+1; j++)
48. c[i][j][0]=0;
49. }
50. for(i = 0; i < length2+1; i++)
51. {
52. for(j = 0; j < length3+1; j++)
53. c[0][i][j]=0;
54. }
55. for(i = 0; i < length1+1; i++)
56. {
57. for(j = 0; j < length3+1; j++)
58. c[i][0][j]=0;
59. }
61. for(i = 1; i < length1+1; i++)
62. {
63. for(j = 1; j < length2+1; j++)
64. {
65. for(k = 1; k < length3+1; k++)
66. {
67. if(str1[i-1]==str2[j-1] && str2[j-1]==str3[k-1])
68. c[i][j][k]=c[i-1][j-1][k-1]+1;
69. else if(str1[i-1]==str2[j-1] && str1[i-1]!=str3[k-1])
70. c[i][j][k]=max1(c[i][j][k-1],c[i-1][j-1][k]);
71. else if(str1[i-1]==str3[k-1] && str1[i-1]!=str2[j-1])
72. c[i][j][k]=max1(c[i][j-1][k],c[i-1][j][k-1]);
73. else if(str2[j-1]==str3[k-1] && str1[i-1]!=str2[j-1])
74. c[i][j][k]=max1(c[i-1][j][k],c[i][j-1][k-1]);
75. else
76. {
77. c[i][j][k]=max2(c[i-1][j][k],c[i][j-1][k],c[i][j][k-1],c[i-1][j-1][k],c[i-1][j][k-1],c[i][j-1][k-1]);
78. }
79. }
80. }
81. }
82. len=c[length1][length2][length3];
83. for(i = 1; i < length1+1; i++) //释放动态申请的三维数组
84. {
85. for(j = 1; j < length2+1; j++)
86. delete[] c[i][j];
87. delete[] c[i];
88. }
89. delete[] c;
90. return len;
91. }
93. int main(void)
94. {
95. char str1[100],str2[100],str3[100];
96. int len;
98. printf("请输入第一个字符串：");
99. gets(str1);
100. printf("请输入第二个字符串：");
101. gets(str2);
102. printf("请输入第三个字符串：");
103. gets(str3);
104. len=LCSLength(str1,str2,str3);
105. printf("最长公共子序列的长度为：%d",len);
106. system("pause");
107. return 0;
108. }