基本概念

? 并查集是一种维护集合的数据结构，“并”，“查”，“集” 三个字分别取自 Union（合并），Find（查找），Set（集合）。并查集是若干个不相交集合，能够在 \(O(1)\) 实现两个集合的合并，判断两个元素是否属于同一集合应用，如其求无向图的连通分量个数、实现kruskal算法求最小生成树。

并查集的实现方法就是一个数组：

int pre[N];

其中 pre[i] 表示元素 i 结点的父节点，pre[i] 和 i 结点属于同一集合。例如：pre[1] = 2 就表明元素1的父节点是元素2，元素1和元素2属于同一集合。如果 pre[i]==i 则说明元素 i 是该集合的根结点，对于同一个集合来说，只存在一个根结点。

实现

准备工作

初始化一个pre数组。用于记录了每个节点属于哪个集合；初始时数组内的值与数组的下角标一致。即每个数字都自己一个集合。

void initialize(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        pre[i] = i;
    }
}

查找操作

查找的目的是找到集合的 根结点 Big Boss，而不是前驱，因为前驱不一定是根结点，比如图中的5，我们要找到的是3，而不是4。

看这幅图，我们可以知道，当出现 pre[x]==x 时，证明找到了 Big Boss。

这里出现了一个问题，5和4的“顶头上司”都是3，但是5却要多走了一步，如果这个层级更多，那势必会降低算法的效率。

于是就有了在查找过程中的路径压缩

//查找
int Find(int x) {
    if (pre[x] == x)return x;
    return pre[x] = Find(pre[x]);
    ////你爸爸的爸爸就是你的爸爸
}

合并操作

初始三个节点，各自为一个集合

如下图，合并3，4操作，此时3和4合并为一个集合。3挂在4上，还是4挂在3上都是一样的，它们都表示3和4是同一个集合，只是集合的Big Boss不一样。

我们继续进行合并4,5操作，通过路径压缩我们获得了右边的形式，此时三个数已经为同一个集合了。

//合并
void Union(int x, int y) {
    int fx = Find(x), fy = Find(y);
　　//如果x,y已经是同一集合了，返回
    if (fx == fy) return;
    //这里通过深度来确定fx挂fy上，还是fy挂在fx上，实际意义不大，就简单点写了。
    pre[fy] = fx;
}

完整代码，这鬼东西好用就好用在很短，真的太好写了

int pre[5001];
void initialize(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        pre[i] = i;
    }
}
int Find(int x) {
    if (x == pre[x])return pre[x];
    else return pre[x] = Find(pre[x]);
}

void Union(int x, int y) {
    int fx = Find(x), fy = Find(y);
    if (fx == fy) return;
    pre[fy] = fx;
}

例题

标准模板题

HDU 1232 ：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1232

基本思想是：N个节点，最少需要 N-1 根线连起来。 把输入的城镇全部进行Union，如果这两个城镇不连通，N--，最后输出 N - 1就是答案。

#include<stdio.h>

int Pre[1001];

//查找
int Find(int x) {
    if (Pre[x] == x)return x;
    return Pre[x] = Find(Pre[x]);
}
//合并
void Union(int x, int y, int &n) {
    int fx = Find(x), fy = Find(y);
    if (fx == fy) return;
    Pre[fx] = fy;
    n--;
}

int main() {
    int n, m;
    while (~scanf("%d", &n)) {
        if (n == 0) break;
        for (int i = 0; i <= n; i++) Pre[i] = i;
        scanf("%d", &m);
        while (m--) {
            int c1, c2;
            scanf("%d%d", &c1, &c2);
            Union(c1, c2, n);
        }
        printf("%d\n", n - 1);
    }
    return 0;
}

最小生成树

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P3366

题解： https://www.cnblogs.com/czc1999/p/11735791.html

求连通分量个数

并查集

求连通块数量，没找着简单的模板题，代码比较容易理解。

#include <iostream>
using namespace std;

int pre[maxn];

int Find(int x) {
    if (pre[x] == x)return x;
    return pre[x] = Find(pre[x]);
}

void Union(int x, int y) {
    int fx = Find(x), fy = Find(y);
    if (fx == fy) return;
    pre[fx] = fy;
}

int main(){
    int m, n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) pre[i] = i;
    cin >> m;
    while (m--) {
        int c1, c2;
        cin >> c1 >> c2;
        Union(c1, c2);//两点之间有路的属于同一个连通块，合并起来
    }
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (pre[i] == i) cnt++; //有多少个根结点，就有多少个连通块
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

DFS

写了玩的

#include <iostream>
using namespace std;

int m, n;
int cnt = 0;
int maze[500][500];
bool book[500][500];
int dir[4][2] = { {0,-1},{0,1},{-1,0},{1,0} };

void dfs(int x, int y) {
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        int tox = x + dir[i][0], toy = y + dir[i][1];
        if (!book[tox][toy] && maze[tox][toy] == 1 && (tox >= 0 && tox < m && toy >= 0 && toy < n)) {
            book[tox][toy] = true;
            dfs(tox, toy);
        }
    }
    return;
}
int main() {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> maze[i][j];
        }
    }

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (maze[i][j] && !book[i][j]) {
                dfs(i, j);
                cnt++;
            }
        }
    }

    cout << cnt;
    return 0;
}

BFS

#include <iostream>
#include <stdio.h>?
#include <queue>
using namespace std;
struct node {
    int x;
    int y;
    node(int x, int y) :x(x), y(y) {};
};
queue<node> q;

int maze[105][105];
bool book[105][105];

int m, n;

int dir[4][2] = { {0,-1},{0,1},{-1,0},{1,0} };

void bfs(int x1, int y1) {
    node nn;
    nn.x = x1; nn.y = y1;
    while (!q.empty()) q.pop();
    q.push(nn);
    book[x1][y1] = true;
    while (q.empty() == false) {
        node now = q.front();
        q.pop();
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int tox = now.x + dir[i][0];
            int toy = now.y + dir[i][1];
            if (!book[tox][toy] && maze[tox][toy] == 1 && (tox >= 0 && tox < m && toy >= 0 && toy < n)) {
                book[tox][toy] = true;
                q.push(node(tox, toy));
            }
        }
    }
}
int main(int argc, char** argv) {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> maze[i][j];
        }
    }
    int ans = 0;

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (maze[i][j] && !book[i][j] ) {
                bfs(i, j);
                ans++;
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}