C++数据结构学习之稀疏矩阵

C++数据结构中，先说说什么叫稀疏矩阵。你说，这个问题很简单吗，那你一定不知道中国学术界的嘴皮子仗，对一个字眼的“抠”将会导致两种相反的结论。这是清华2000年的一道考研题：“表示一个有1000个顶点，1000条边的有向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素?是否稀疏矩阵?”如果你是个喜欢研究出题者心理活动的人，你可以看出这里有两个陷阱，就是让明明会的人答错，我不想说出是什么，留给读者思考。姑且不论清华给的标准答案是什么，那年的参考书是严蔚敏的《数据结构(C语言版)》，书上对于稀疏矩阵的定义是这样的：“非零元较零元少(注：原书下文给出了大致的程度)，且分布没有一定规律”，照这个说法，那题的答案应该是不一定是稀疏矩阵，因为可能是特殊矩阵(非零元分布有规律)。

自从2002年换参考书后，很多概念都发生了变化，最明显的是从多少开始计数(0还是1)，从而导致的是空树的高度变成了-1，只有一个根节点的树高度是0。很不幸的是树高的问题几乎年年都考，在你下笔的时候，总是犯点嘀咕，总不是一朝天子一朝臣吧，会不会答案是个兼容版本?然后，新参考书带的习题集里引用了那道考研题，答案是是稀疏矩阵。你也许会惊讶这年头咸鱼都会游泳了，但这个答案和书并不矛盾，因为在这本黄皮书里，根本就没有什么特殊矩阵，自然就一定是稀疏矩阵了。

其实，这两本书在这个问题上也没什么原则上的问题，C版的是从数据结构实现区分出特殊矩阵和稀疏矩阵，毕竟他们实现起来很不相同;新书一股脑把非零元少的矩阵都当成稀疏矩阵，当你按照这种思路做的时候就会发现，各种结构特殊的非零元很少的矩阵，如果用十字链表来储存的话，比考虑到它的特殊结构得出的特有储存方法，仅仅是浪费了几个表头节点和一些指针域，再有就是一些运算效率的降低。从我个人角度讲，我更喜欢多一些统一，少一些特别，即使牺牲一点效率;所以在这一点上我赞同新参考书的做法。而在计数起点上，我更喜欢原来的做法;毕竟，研究数据结构要考虑人的思考习惯，而不是计算机喜欢什么;你非得说表中的第一个元素是第0个，空树的高是-1，怎么不让人心里起疙瘩。数据结构是人们构造算法时思维和计算机实现的桥梁、中介，它应该符合人的思考习惯，即使在它实现的时候内部做了某些转换。开始废话了这么多，希望没打消了你往下看的心情，好，言归正传。

这里的十字链表是这样构成的：用链表模拟矩阵的行(或者列，这可以根据个人喜好来定)，然后，再构造代表列的链表，将每一行中的元素节点插入到对应的列中去。书中为了少存几个表头节点，将行和列的表头节点合并到了一起——实际只是省了几个指针域，如果行和列数不等，多余的数据域就把这点省出的空间又给用了。这点小动作让我着实废了半天劲，个人感觉，优点不大，缺点不少，不如老老实实写得象个十字链表，让人也好看一些，这是教科书，目的是教学。实在看得晕的人，参阅C版的这部分内容，很清晰。我也不会画图，打个比方吧：这个十字链表的逻辑结构就像是一个围棋盘(没见过，你就想一下苍蝇拍，这个总见过吧)，而非零元就好像是在棋盘上放的棋子，总共占的空间就是，确定那些线的表头节点和那些棋子代表的非零元节点。最后，我们用一个指针指向这个棋盘，这个指针就代表了这个稀疏矩阵。

现在，让我们看看非零元节点最少需要哪几个域，data必须的，down、right把线画下去，好像不需要别的了。再看看表头节点，由于是链表的表头节点，所以就和后边的节点一样了。然后，行链表和列链表的表头节点实际上也各构成了一个链表，我们给他们添加一个公有的表头节点。最后，通过指向这个行列链表表头构成的链表的公有的表头节点的指针，我们就可以访问稀疏矩阵了。

好像和书上的不一样——非零元节点没了指示位置的I、j，实际上，对于确定非零元在矩阵中的位置，I、j不是必须的，看着围棋盘你就会很清楚。但是很不幸，不是把他们存起来就万事大吉了，最起码，必须考虑加法和乘法的效率，请你想想如果用上面的那种结构，如何完成。

如果你细想想，就会发现，非零元节点如果没有指示位置的域，那么做加法和乘法时，为了确定节点的位置，每次都要遍历行和列的链表。因此，为了运算效率，这个域是必须的。为了看出十字链表和单链表的差异，我从单链表派生出十字链表，这需要先定义一种新的结构，如下：

class MatNode  


{  



public:  




int data;  




int row, col;  




union { Node<MatNode＞ *down; List<MatNode＞ *downrow; };  



}; 

另外，由于这样的十字链表是由多条单链表拼起来的，为了访问每条单链表的保护成员，要声明十字链表类为单链表类的友元。即在class List的声明中添加friend class Matrix;

稀疏矩阵的定义和实现