排序算法总结之归并排序

一，归并排序介绍

归并排序是一个典型的基于分治的递归算法。它不断地将原数组分成大小相等的两个子数组(可能相差1)，最终当划分的子数组大小为1时(下面代码第17行left小于right不成立时) ，将划分的有序子数组合并成一个更大的有序数组。为什么是有序子数组？？？

归并排序的递归公式：T(N) = 2T(N/2) + O(N)

从公式中可以看出：将规模为 N 的原问题分解成两个规模 N/2 的两个子问题；并且，合并这两个子问题的代价是 O(N)---[后面的 +O(N) 表示合并的代价] 

二，归并排序算法分析

 归并排序算法有两个基本的操作，一个是分，也就是把原数组划分成两个子数组的过程。另一个是治，它将两个有序数组合并成一个更大的有序数组。

它将数组平均分成两部分: center = (left + right)/2，当数组分得足够小时---数组中只有一个元素时，只有一个元素的数组自然而然地就可以视为是有序的，此时就可以进行合并操作了。因此，上面讲的合并两个有序的子数组，是从 只有一个元素 的两个子数组开始合并的。

合并后的元素个数：从 1-->2-->4-->8......

比如初始数组：[24,13,26,1,2,27,38,15]

①分成了两个大小相等的子数组：[24,13,26,1]    [2,27,38,15]

②再划分成了四个大小相等的子数组：[24,13]  [26,1]    [2,27]   [38,15]

③此时，left < right 还是成立，再分：[24]  [13]  [26]    [1]    [2]    [27]   [38]  [15]

此时，有8个小数组，每个数组都可以视为有序的数组了！！！，每个数组中的left == right，从递归中返回(从19行--20行的代码中返回)，故开始执行合并(第21行)：

merge([24],[13]) 得到 [13,24]

merge([26],[1]) 得到[1,26]

.....

.....

最终得到 有序数组。

三，归并排序算法实现

public class MergeSort {

    public static <T extends Comparable<? super T>> void mergeSort(T[] arr) {
        T[] tmpArray = (T[]) new Comparable[arr.length];
        mergeSort(arr, tmpArray, 0, arr.length - 1);
    }

    /**
    *
    * @param arr an array of Comparable items
    * @param tmpArray an array to place the merge result
    * @param left the left-most index of the array
    * @param right right-most index of the array
    */
    private static <T extends Comparable<? super T>> void mergeSort(T[] arr,
            T[] tmpArray, int left, int right) {
        if (left < right) {
            int center = (left + right) / 2;
            mergeSort(arr, tmpArray, left, center);
            mergeSort(arr, tmpArray, center + 1, right);
            merge(arr, tmpArray, left, center + 1, right);
        }
    }

    /**
    *
    * @param arr an array of Comparable items
    * @param tmpArray an array to place the merge result
    * @param leftPos the left-most index of the subarray
    * @param rightPos the index of the start of the second half
    * @param rightEnd the right-most index of the subarray
    */
    private static <T extends Comparable<? super T>> void merge(T[] arr,
            T[] tmpArray, int leftPos, int rightPos, int rightEnd) {
        int leftEnd = rightPos - 1;
        int numElements = rightEnd - leftPos + 1;
        int tmpPos = leftPos;// 只使用tmpArray中某一部分区域
        while (leftPos <= leftEnd && rightPos <= rightEnd) {
            if (arr[leftPos].compareTo(arr[rightPos]) <= 0)
                tmpArray[tmpPos++] = arr[leftPos++];
            else
                tmpArray[tmpPos++] = arr[rightPos++];
        }

        while (leftPos <= leftEnd)
            tmpArray[tmpPos++] = arr[leftPos++];// copy rest of left half
        while (rightPos <= rightEnd)
            tmpArray[tmpPos++] = arr[rightPos++];// copy rest of right half

        // copy tmpArray back
        for (int i = 0; i < numElements; i++, rightEnd--)
            arr[rightEnd] = tmpArray[rightEnd];//只拷贝当前 merge 的部分数组

        /**
        * 复制了整个数组中的所有元素
          for(int i = 0; i < tmpArray.length; i++)
                arr[i] = tmpArray[i];
        */
    }
   
    //for test purpose
    public static void main(String[] args) {
        Integer[] arr = {24,13,26,1,2,27,38,15};
        mergeSort(arr);
        for (Integer i : arr)
            System.out.print(i + " ");
    }
}

①第3行的公共方法，是对外的排序接口，首先创建一个临时数组tmpArray，用来保存合并过程中，两个子数组临时合并的结果。将tmpArray作为参数传递给递归调用的方法，而不是在执行递归调用的方法里面创建临时数组，这样可以大大地减少临时数组的创建。若在递归调用的方法里创建临时数组，每一层递归调用，都会创建一个临时数组。

②第15行的私有方法，是执行递归调用的方法。在某次具体的递归调用中，只用到了tmpArray中的某一部分空间(leftEnd 和 rightEnd之间的空间)。

③第38行while循环，比较两个子数组中的元素，谁小就把谁放到tmpArray中。

 ④第45行和第47行的两个while循环完成的功能是：当合并两个有序的子数组时，一个子数组中的元素已经全部放到tmpArray中去了，另一个子数组中还剩下有元素，故将剩下的所有元素直接复制到tmpArray中。

⑤第51行for循环，将本次merge完成的两个子数组复制到原数组中去。注意，它只复制本次参与合并的两个子数组中的元素。为什么要复制到原数组中去呢？因为在下一次的合并过程中，需要合并的是更大的子数组，这个更大的数组，就是由上次合并的生成的有序小数组组成的。比如：

在合并这两个数组时：[24]  [13]

下一次合并的则是：[13,24]  [1,26]

四，归并排序算法复杂度分析

归并排序中，用到了一个临时数组，故空间复杂度为O(N)

由归并排序的递归公式：T(N) = 2T(N/2) + O(N) 可知时间复杂度为O(NlogN)

数组的初始顺序会影响到排序过程中的比较次数，但是总的而言，对复杂度没有影响。平均情况 or 最坏情况下 它的复杂度都是O(NlogN)

此外，归并排序中的比较次数是所有排序中最少的。原因是，它一开始是不断地划分，比较只发生在合并各个有序的子数组时。

因此，JAVA的泛型排序类库中实现的就是归并排序。因为：对于JAVA而言，比较两个对象的操作代价是很大的，而移动两个对象，其实质移动的是引用，代价比较小。（排序本质上是两种操作：比较操作和移动操作）