数据结构与算法系列二（复杂度分析）

1.引子

1.1.为什么要学习数据结构与算法？

有人说，数据结构与算法，计算机网络，与操作系统都一样，脱离日常开发，除了面试这辈子可能都用不到呀！

有人说，我是做业务开发的，只要熟练API，熟练框架，熟练各种中间件，写的代码不也能“飞”起来吗？

于是问题来了：为什么还要学习数据结构与算法呢？

#理由一：
    面试的时候，千万不要被数据结构与算法拖了后腿
#理由二：
    你真的愿意做一辈子CRUD Boy吗
#理由三：
    不想写出开源框架，中间件的工程师，不是好厨子

1.2.如何系统化学习数据结构与算法？

我想好了，还是需要学习数据结构与算法。但是我有两个困惑：

1.如何着手学习呢？

2.有哪些内容要学习呢？

学习方法推荐：

#学习方法
1.从基础开始，系统化学习
2.多动手，每一种数据结构与算法，都自己用代码实现出来
3.思路更重要：理解实现思想，不要背代码
4.与日常开发结合，对应应用场景

学习内容推荐：

数据结构与算法内容比较多，我们本着实用原则，学习经典的、常用的数据结构、与常用算法

#学习内容：
1.数据结构的定义
2.算法的定义
3.复杂度分析
4.常用数据结构
    数组、链表、栈、队列
    散列表、二叉树、堆
    跳表、图
5.常用算法
    递归、排序、二分查找
    搜索、哈希、贪心、分治
    动态规划、字符串匹配

2.考考你

在开篇中提到了复杂度分析，与大O表示法的概念。具体要如何进行复杂度分析，以及大O表示法的公式推导，我们在这一篇详细来看。

#考考你：
1.你知道大O表示法，公式是如何来的吗？
2.你知道时间复杂度分析的常用原则吗？
3.你知道常见复杂度的度量级吗？

3.案例

3.1.大O表示法公式推导

3.1.1.案例代码

我们根据以下案例代码推导大O表示法的公式。代码很简单，有没有？

// 传入参数n，求解1..n的累加和
public int sum(int n){
    int sum = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        sum += i;
    }
    
    return sum;
}

3.1.2.推导过程

简述：

1.对于程序代码中的每一行代码，从cpu的角度来看，执行的时候都有：读数据->运算->写数据过程

2.我们假定每一行代码的执行时间都相同，都是一个单位时间：unit_time

3.那么sum方法中，代码执行的总时间是多少呢

public int sum(int n){
   int sum = 0;// 第二行代码执行，需要1 个unit_time
   for(int i = 1; i <= n; i++){// 第三行代码执行，需要n 个unit_time
       sum += i;// 第四行代码执行，需要n 个unit_time
   }   
   return sum;// 第五行、第六行代码暂时忽略，不影响
}

4.根据3推导，sum方法的总执行时间是：

T(n)=(n + n + 1) * unit_time = (2n +1) * unit_time=O(f(n))

5.结论：所有代码的执行时间T(n)，与每行代码的执行次数成正比

6.提取出公式即：T(n) = O(f(n))

#公式解读：
 T(n)：代表代码执行时间
 n：代表数据规模
 f(n)：代表每行代码执行的次数总和
 O：表示代码执行时间T(n)，与代码执行次数f(n)成正比

7.这就是大O表示法的公式来源，表示代码的执行时间T(n)，与代码的执行次数f(n)成正比

8.进一步理解：

1.大O表示法：时间复杂度，表示数据规模n的增长，与算法执行时间的增长趋势
2.大O表示法：空间复杂度，表示数据规模n的增长，与算法存储空间的增长趋势

3.1.3.约定

大O表示的公式，以及含义我们已经推导出来了。它表示的是数据规模n的增长，与算法执行时间，或者存储空间的增长趋势。这里需要关注两个字：趋势。

根据常理我们知道，常量、系数、低阶不会影响趋势，因此在实际复杂度分析中，往往忽略常量、系数、低阶。

那么上面案例的时间复杂度大O表示法公式，省略系数、常量：

可以从：T(n) = O(f(n)) = O(2n+1)

简化成：T(n) = O(n)

3.2.时间复杂度案例

在复杂度分析中，有时间复杂度分析和空间复杂度分析。它们是从两个维度来衡量算法的优劣。实际分析方式类似，我们以时间复杂度分析为例。

时间复杂度分析，有几个基本的原则，你都知道吗？

#时间复杂度分析基本原则
1.只关注循环次数最多的代码
2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

3.2.1.只关注循环次数最多的代码

案例代码：

public int sum(int n){
   int sum = 0;// 第二行代码执行，需要1 个unit_time
   for(int i = 1; i <= n; i++){// 第三行代码执行，需要n 个unit_time
       sum += i;// 第四行代码执行，需要n 个unit_time
   }   
   return sum;// 第五行、第六行代码暂时忽略，不影响
}

复杂度分析：

1.这里的原则：只关注循环次数最多的代码

2.第二行代码执行，需要1 个unit_time

3.第三行代码执行，需要n 个unit_time

4.第四行代码执行，需要n 个unit_time

5.第五行、第六行代码暂时忽略，不影响

6.通过以上分析，第三行、第四行代码循环执行次数最多：n。因此时间复杂度为：O(n)

3.2.2.加法法则

简述：

加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

案例代码：

public int sum(int n){
    
    // 第一段代码
    int sum_1 = 0;
    for(int i=1; i< 100; i++){
        sum_1 += i;
    }
    
    // 第二段代码
    int sum_2 = 0;
    for(int j = 1; j <= n; j++){
        sum_2 += j;
    }
    
    // 第三段代码
    int sum_3 = 0;
    for(int k = 1; k <= n;k++){
        for(int h = 1; h <= n; h++){
            sum_3 += k * h
        }
    }
    
    return sum_1 + sum_2 + sum_3;
    
}

复杂度分析：

1.在sum方法中有两段代码

2.第一段代码，复杂度是：O(100)

3.第二段代码，复杂度是：O(n)

4.第三段代码，复杂度是：O(n^2)

5.总复杂度是：O(100) + O(n) +O(n^2)

6.根据加法法则，最终复杂度是：O(n^2)

3.2.3.乘法法则

简述：

乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

案例代码：

public int sum(int n){
     int sum_1 = 0;
    for(int i=1; i< n; i++){// 第一层循环
        sum_1 += multi(i) ;// multi方法中，有第二层循环
    }
}

public int multi(int n){
    int multi_1 = 0;
    for(int i = 1; i<= n; i++){// 第二层循环
        multi_1 *= i;
    }
    
    return multi_1;
}

复杂度分析：

1.在sum方法中，有第一层循环：for(int i=1; i< n; i++){

2.在sum方法中，调用multi方法

3.在multi方法中，有第二层循环：for(int i = 1; i<= n; i++){

4.根据乘法法则，总时间复杂度等于，第一层循环，乘以第二层循环

5.因此总时间复杂度是：O(n*n) = O(n^2)

4.讨论分享

#考考你答案：
1.你知道大O表示法，公式是如何来的吗？
 1.1.参考【3.1.大O表示法公式推导】
 
2.你知道时间复杂度分析的常用原则吗？
 2.1.只关注循环次数最多的代码
 2.2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
 2.3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
 
3.你知道常见复杂度的度量级吗？
 3.1.常数阶：O(1)
 2.2.对数阶：O(logn)
 2.3.线性阶：O(n)
 2.4.线性对数阶：O(nlogn)
 2.5.平方阶：O(n^2)
 2.6.立方阶：O(n^3)