算法中的微积分：5大函数求导公式让你在面试中脱颖而出

就业市场上，机器学习工程师总是受到质疑，人们不相信他们数学功底深厚。事实上，所有机器学习算法的本质都是数学问题，无论是支持向量机、主成分分析还是神经网络最终都归结为对偶优化、谱分解筛选和连续非线性函数组合等数学问题。只有彻底理解数学，才能正真掌握这些机器学习算法。

Python中的各种数据库能帮助人们利用高级算法来完成一些简单步骤。例如包含了K近邻算法、K均值、决策树等算法的机器学习算法库Scikit-learn，或者Keras，都可以帮助人们构建神经网络架构，而不必了解卷积神经网络CNNs或是循环神经网络RNNs背后的细节。

然而，想要成为一名优秀的机器学习工程师需要的远不止这些。在面试时，面试官通常会问及如何从零开始实现K近邻算法、决策树，又或者如何导出线性回归、softmax反向传播方程的矩阵闭式解等问题。

本文将回顾一些微积分的基本概念助你准备面试，如一元和多元函数的导数、梯度、雅可比矩阵和黑塞矩阵。同时，本文还能为你深入研究机器学习、尤其是神经网络背后的数学运算打下良好的基础。这些概念将通过5个导数公式来展示，绝对是面试必备干货。

导数1：复合指数函数

指数函数非常基础常见，而且非常有用。它是一个标准正函数。在实数ℝ中eˣ > 0，同时指数函数还有一个重要的性质，即e⁰ = 1。

另外，指数函数与对数函数互为反函数。指数函数也是最容易求导的函数之一，因为指数函数的导数就是其本身，即(eˣ)’ = eˣ。当指数与另一个函数组合形成一个复合函数时，复合函数的导数就变得更为复杂了。在这种情况下，应遵循链式法则来求导，f(g(x))的导数等于f’(g(x))⋅g’(x)，即：

运用链式法则可以计算出f(x)= eˣ²的导数。先求g(x)=x²的导数：g(x)’=2x。而指数函数的导数为其本身：(eˣ)’=eˣ。将这两个导数相乘，就可以得到复合函数f(x)= eˣ²的导数：

这是个非常简单的例子，乍一看可能无关紧要，但它经常在面试开始前被面试官用来试探面试者的能力。如果你已经很久没有温习过导数了，那么很难确保自己能够迅速应对这些简单问题。虽然它不一定会让你得到这份工作，但如果你连这么一个基本问题都回答不上，那你肯定会失去这份工作。

导数2：底数为变量的复变指数

复变指数函数是一个经典面试问题，尤其是在计量金融领域，它比科技公司招聘机器学习职位更为看重数学技能。复变指数函数迫使面试者走出舒适区。但实际上，这个问题最难的部分是如何找准正确的方向。

当函数逼近一个指数函数时，首先最重要的是要意识到指数函数与对数函数互为反函数，其次，每个指数函数都可以转化为自然指数函数的形式：

在对复变指数函数f(x) = xˣ求导前，要先用一个简单的指数函数f(x) = 2ˣ来证明复变函数的一种性质。先用上述方程将2ˣ 转化为exp(xln(2))，再用链式法则求导。

现在回到原来的函数f(x)=xˣ，只要把它转化为f(x)=exp(x ln x)，求导就变得相对简单，可能唯一困难的部分是链式法则求导这一步。

注意这里是用乘积法则(uv)’=u’v+uv’来求指数xln(x)的导数。

通常情况下，面试官提问这个函数时不会告诉你函数定义域。如果面试官没有给定函数定义域，他可能是想测试一下你的数学敏锐度。这便是这个问题具有欺骗性的地方。没有限定定义域，xˣ既可以为正也可以为负。当x为负时，如(-0.9)^(-0.9)，结果为复数-1.05–0.34i。

一种解决方法是将该函数的定义域限定为ℤ⁻ ∪ ℝ⁺ \0，但对于负数来说，函数依然不可微。因此，为了正确推导出复变指数函数xˣ的导数，只需要把该函数的定义域严格限定为正数即可。排除0是因为此时导数也为0，左右导数需相等，但在这种情况下，此条件是不成立的。因为左极限是没有定义的，函数在0处不可微，因此函数的定义域只能限定为正数。

在继续以下内容之前，先考考你，这里有一个比复变指数函数f(x) = xˣ更高级的函数f(x) = xˣ²。如果你理解了第一个例子背后的逻辑和步骤，再加一个指数应该毫无难度，可以推导出以下结果：

导数3：多元输入函数的梯度

到目前为止，前面讨论的函数导数都是从ℝ映射到ℝ的函数，即函数的定义域和值域都是实数。但机器学习本质上是矢量的，函数也是多元的。

下面这个例子最能阐释这种多元性：当神经网络的输入层大小为m和输出层大小为k时，即f(x) = g(Wᵀx + b)，此函数是线性映射Wᵀx(权阵W和输入向量x)和非线性映射g(激活函数)按元素组成的。一般情况下，该函数也可视作是从ℝᵐ到ℝᵏ的映射。

我们把k=1时的导数称为梯度。现在来计算以下从ℝ³映射到ℝ的三元函数：

可以把f看作是一个函数，它从大小为3的向量映射到大小为1的向量。

图源：unsplash

多元输入函数的导数被称为梯度，用倒三角符号∇(英文为nabla)表示。从ℝⁿ映射到ℝ的函数g的梯度是n个偏导数的集合，每个偏导数都是一个n元函数。因此，如果g是一个从ℝⁿ到ℝ的映射，其梯度∇g是一个从ℝⁿ到ℝⁿ的映射。

要推导出函数f(x,y,z) = 2ˣʸ + zcos(x)的梯度，需要构造一个矢量的偏导数：∂f/∂x，∂f/∂y和∂f/∂z，结果如下：

需要注意，此处也需要利用公式进行等值转化，即2ˣʸ=exp(xy ln(2))。

总之，对于一个从ℝ³映射到 ℝ的三元函数f，其导数是一个从ℝ³映射到ℝ³的梯度∇ f。从ℝᵐ映射到ℝᵏ(k > 1)的一般式中，一个从ℝᵐ映射到ℝᵏ的多元函数的导数是一个雅可比矩阵，而非一个梯度向量。

导数4：多元输入输出函数的雅可比矩阵

上一节中已经提到从ℝᵐ映射到ℝ的函数的导数，是一个从ℝᵐ映射到ℝᵐ的梯度。但如果输出域也是多元的，即从ℝᵐ映射到ℝᵏ(k > 1)，那又当如何?

这种情况下，导数为雅可比矩阵。可以把梯度简单视为一个m x 1的特殊雅可比矩阵，此时m与变量个数相等。雅可比矩阵J(g)是一个从ℝᵐ到ℝᵏ*ᵐ的映射，其中函数g从ℝᵐ映射到ℝᵏ。这也就是说输出域的维数是k x m，即为一个k x m矩阵。换言之，在雅可比矩阵J(g)中，第i行表示函数gᵢ的梯度∇ gᵢ。

假设上述函数f(x, y) = [2x², x √y]从ℝ²映射到ℝ²，通过推导该函数的导数可以发现函数的输入和输出域都是多元的。在这种情况下，由于平方根函数在负数上没有定义，需要把y的定义域限定为ℝ⁺。输出雅可比矩阵的第一行就是函数1的导数，即∇ 2x²;第二行为函数2的导数，即∇ x √y。

雅可比矩阵在深度学习中的可解释性领域中有一个有趣用例，目的是为了理解神经网络的行为，并分析神经网络的输出层对输入的灵敏度。

雅可比矩阵有助于研究输入空间的变化对输出的影响，还可以用于理解神经网络中间层的概念。总之需要记住梯度是标量对向量的导数，雅可比矩阵是一个向量对另一个向量的导数。

导数5：多元输入函数的黑塞矩阵

目前仅讨论了一阶导数求导，但在神经网络中，会经常讨论多元函数的高阶导数。其中一种特殊情况就是二阶导数，也被称为黑塞矩阵，用H(f)或∇ ²(微分算符的平方)表示。从ℝⁿ映射到ℝ的函数g的黑塞矩阵是从ℝⁿ到ℝⁿ*ⁿ的映射H(g)。

现在分析一下我们是如何将输出域从ℝ转化为ℝⁿ*ⁿ。一阶导数，即梯度∇g，是一个从ℝⁿ到ℝⁿ的映射，其导数是一个雅可比矩阵。因此，每一个子函数的导数∇gᵢ都由n个从ℝⁿ映射到ℝⁿ的函数组成。可以这样想，就好比是对展开成一个向量的梯度向量的每个元素都求导，从而变成向量中的向量，即为一个矩阵。

要计算黑塞矩阵，需要计算交叉导数，即先对x求导，再对y求导，反过来也可以。求交叉导数的顺序会不会影响结果，换句话说，黑塞矩阵是否对称。在这种情况下，函数f为二次连续可微函数(用符号²表示)，施瓦兹定理表明交叉导数是相等的，因此黑塞矩阵是对称的。一些不连续但可微的函数，不满足交叉导数等式。

构造函数的黑塞矩阵就相当于求一个标量函数的二阶偏导数。以f(x,y) = x²y³为例，计算结果如下：

可以看到交叉导数6xy²实际上是相等的。先对x求导得到关于x的偏导数2xy³，再对y求导得到关于y的偏导数6xy²。对于x或y的每个一元子函数，对角元素都为fᵢ。