机器学习算法原理与实践-正规方程、梯度下降（文章迁移）

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一、正规方程、梯度下降原理介绍

正规方程：

先了解下线性模型，假设我们依据消费者的年龄、性别、职业3个特征来判断是否会进行购物消费，令x1代表年龄、x2代表性别、x3代表职业，则我们可以引入一个预测函数来判断是否会进行消费：f(x)=w1x1+w2x2+w3+w3x3+b，将其转化为向量的形式为：

（公式一），其中w=(w1,w2,w3)， b为常数

假设真实值为y取值为0或1,0代表不会消费，1代表会消费；

如果我们能与预测值f(x)无限接近这真实值y的一组w和b，那就可以进行判断了，如何判断两者的误差呢，这个时候需要引入均方误差了，我们的目的就是让均方误差最小化了，我们先考虑一种简单的情形，假设只有一个特征的情况，则均方误差函数为：

（公式二），其中m为样本的个数

求解w和b，相当于是求解H(w,b)的最小化过程，求解步骤如下：

（1）分别令该函数对w和b进行求导，则可得到关于w和b的两个等式

（2）分别令两个等式等于0，则可求得w和b

  如果假设数据集为D，3个特征的情况，则我们叫做“多元线性回归问题”，解决该问题的步骤如下：

（1）令为特征参数

（2）将数据集D表示为一个m*(d+1) 的矩阵，这里m为样本个数，d=3为特征数，其矩阵表示如下：

（3）令Y=（y1,y2,...ym）

 则类比公式二，然后对进行求导，令等式等于0，则可推到出特征参数的表达式：

（公式三）

 从整个的求解或推导的过程中，可以看到一次计算即可得出，不需要考虑学习率的问题，但是需要计算矩阵的转置和逆，因此当样本数量或特征参数很大时，计算花销较大，因此在实际解决问题中，该算法用的较少

梯度下降：

 （a表示步长，a后的等式可以理解为下降的方向）

由公式看起来比较晦涩，图形比较直观

从图像可以看出来，梯度下降算法是迭代进行的，沿着梯度下降的方向找到全局或局部的最优解，而每次迭代的步长由a决定，若a设置的太小，则需要多次才能找到最优解，若a设置的太大，则可能跳过最优解，从求解的过程中可以看出梯度下降需要设置步长学习率a，多次迭代进行寻求最优解，当特征数量较多时，也能取得较好的效果，因此应用较多。

二、正规方程、梯度下降实践

一下为利用正规方程和梯度下降求解sklearn中波士顿房价问题

"""
author：lightinglei
一、正规方程和梯度下降方法求解波士顿房价问题
y=w1x1+w2x2+w3x3+...wnxn+b，其中[x1,x2,x3...,xn]为特征，y为目标值，b为偏置，
[w1,w2,w3,...,wn]为权重系数组
正规方程：一步到位，缺点：不适合特征数很多的情况，因为求逆计算量大，时间长
梯度下降：多次迭代，往极值的方向进行下降
1)优点：高效、容易实现
2）缺点：SGD需要许多超参数，比如迭代数、正则项参数；对于特征标准化是敏感的

适用场景：如果数据量少于10万条则不推荐使用梯度下降，若超过10万条则推荐使用梯度下降（SGD）
"""
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error #mean_squared_error； 均方误差
from sklearn.externals import joblib
def Linear1_demo(): #正规方程
    # 1.获取数据集
    bostonData=load_boston()
    print("特征数目：",bostonData.data.shape)
    # 2.划分数据集
    x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(bostonData.data,bostonData.target,random_state=22)
    # 3.特征工程：无量钢化处理-标准化
    transfer=StandardScaler()
    x_train=transfer.fit_transform(x_train)
    x_test=transfer.transform(x_test)
    # 4.预估器流程
    estimator=LinearRegression()
    estimator.fit(x_train,y_train)
    print("正规方程最优的偏置为：",estimator.intercept_)
    print("最优的权重系数为：",estimator.coef_)
    # 5.模型评估
    predict_y=estimator.predict(x_test)
    error=mean_squared_error(y_test,predict_y)
    print("正规方程均方误差为：",error)
    return None

def Linear2_SGD_demo(): #梯度下降
    # 1.获取数据集
    bostonData=load_boston()
    # 2.划分数据集
    x_train,x_test,y_train,y_test=train_test_split(bostonData.data,bostonData.target,random_state=22)
    # 3.特征工程：无量钢化处理-标准化
    transfer=StandardScaler()
    x_train=transfer.fit_transform(x_train)
    x_test=transfer.transform(x_test)
    # 4.预估器流程
    estimator=SGDRegressor(learning_rate="constant",eta0=0.01,max_iter=10000)
    estimator.fit(x_train,y_train)
    print("梯度下降最优的偏置为：",estimator.intercept_)
    print("梯度下降最优的权重系数为：",estimator.coef_)
    # 5.模型评估
    predict_y = estimator.predict(x_test)
    error = mean_squared_error(y_test, predict_y)
    print("梯度下降均方误差为：", error)
    return None

if __name__=="__main__":
　　print("正规方程：\n")　　Linear1_demo()　　print("梯度下降: \n")　　Linear2_SGD_demo()
""" 结果如下： 正规方程： 特征数目： (506, 13) 正规方程最优的偏置为： 22.62137203166228 最优的权重系数为： [-0.64817766 1.14673408 -0.05949444 0.74216553 -1.95515269 2.70902585 -0.07737374 -3.29889391 2.50267196 -1.85679269 -1.75044624 0.87341624 -3.91336869] 正规方程均方误差为： 20.627513763095404 梯度下降: D:\Program Files\pycharm\project\venv\lib\site-packages\sklearn\linear_model\stochastic_gradient.py:183: FutureWarning: max_iter and tol parameters have been added in SGDRegressor in 0.19. If max_iter is set but tol is left unset, the default value for tol in 0.19 and 0.20 will be None (which is equivalent to -infinity, so it has no effect) but will change in 0.21 to 1e-3. Specify tol to silence this warning. FutureWarning) 梯度下降最优的偏置为： [22.64154175] 梯度下降最优的权重系数为： [-0.74660669 1.15751377 -0.04718662 0.56440515 -1.74582607 3.17916205 -0.03211535 -3.63628395 2.93605424 -1.56189505 -1.64378546 0.918139 -4.25393773] 梯度下降均方误差为： 22.980989639657214 """