python函数递归-实例

1.在一个函数体内调用它自身，被称为函数递归。函数递归包含了一种隐式的循环，它会重复执行某段代码，但这种重复执行无须循环控制。

例1.己知有一个数列：f(0) = 1，f(1) = 4，f(n + 2) = 2*f(n+ 1) +f(n)，其中 n 是大于 0 的整数，求 f(10) 的值?

分析：

f(10)=2*f(9)+f(8);f(9)=2*f(8)+f(7);f(8)=2*f(7)+f(6);f(7)=2*f(6)+f(5);f(6)=2*f(5)+f(4);f(5)=2*f(4)+f(3);f(4)=2*f(3)+f(2);f(3)=2*f(2)+f(1)==>f(1),f(2)已知,所以可以推出f(9),f(8)的值。所以我们的目的就是通过递归函数反复调用自身，直到将欲求函数的表达式用已知变量f(1),f(2)代替。

def fun(n):
    if n==0:
        return 1
    elif n==1:
        return 4
    else:
        return 2*fun(n-1)+fun(n-2)
print(fun(10))

例2.如果把上面数学题改为如此。己知有一个数列：f(20)=1，f(21)=4，f(n + 2)=2*f(n+1)+f(n)，其中 n 是大于 0 的整数，求 f(10) 的值？

分析：

fn(10) = fn(12)-2*fn(11)，而 fn(11) =fn(13)-2*fn(12)……依此类推通过函数递归，直到 fn(19) 等于 fn(21)-2*fn(20)，此时就可以得到 fn(19) 的值，然后依次反算到 fn(10) 的值

def fn(n) :
    if n == 20 :
        return 1
    elif n == 21 :
        return 4
    else :
        return fn(n + 2) - 2*fn(n + 1)
print(fn(10))

运行结果：

10497
-3771

tips:仔细看上面递归的过程，当一个函数不断地调用它自身时，必须在某个时刻函数的返回值是确定的，即不再调用它自身：否则，这种递归就变成了无穷递归，类似于死循环。
因此，在定义递归函数时有一条最重要的规定： 递归一定要向已知方向进行。(对于求 fn(10) 而言，如果 fn(0) 和 fn(1) 是已知的，则应该采用 fn(n)=2*fn(n-1)+fn(n-2) 的形式递归，因为小的一端已知；如果 fn(20) 和 fn(21) 是已知的，则应该采用 fn(n)=fn(n+2)-2*fn(n+1) 的形式递归，因为大的一端已知。)

例3.用循环和递归分别求 ∑100 （求1到100的和）

#循环
def sum1(n):
    sum = 0
    for i in range(1,n+1):
        sum+=i
    return sum
print("循环累加：",sum1(100))

#递归
def sum2(n):
    while n==0:
        return 0
    while n!=0:
        return n+sum2(n-1)
print("递归累加1：",sum2(100))

def sum3(n):
 
    if n==1:
         return 1
    else:
        return n+sum3(n-1)
print("循环累加2：",sum3(100))

运行结果：

循环累加： 5050
递归累加1： 5050
循环累加2： 5050

例4.用循环和递归分别求 10！（阶乘）

#循环
def jiecheng1(n):
    res = 1
    for i in range(1,n+1):
        res*=i
    return res
print("循环阶乘：",jiecheng1(10))

#递归
def jiecheng2(n):
    while n==1:
        return 1
    while n!=1:
        return n*jiecheng2(n-1)
print("递归阶乘1：",jiecheng2(10))

def jiecheng3(n):
    if n==1:
        return 1
    else:
        return n*jiecheng3(n-1)
print("递归阶乘2：",jiecheng3(10))

运行结果：

循环阶乘： 3628800
递归阶乘1： 3628800
递归阶乘2： 3628800