python K近邻算法的kd树实现

k近邻算法的介绍

k近邻算法是一种基本的分类和回归方法，这里只实现分类的k近邻算法。

k近邻算法的输入为实例的特征向量，对应特征空间的点；输出为实例的类别，可以取多类。

k近邻算法不具有显式的学习过程，实际上k近邻算法是利用训练数据集对特征向量空间进行划分。将划分的空间模型作为其分类模型。

k近邻算法的三要素

• k值的选择：即分类决策时选择k个最近邻实例；
• 距离度量：即预测实例点和训练实例点间的距离，一般使用L2距离即欧氏距离；
• 分类决策规则。

下面对三要素进行一下说明：

1.欧氏距离即欧几里得距离，高中数学中用来计算点和点间的距离公式；

2.k值选择：k值选择会对k近邻法结果产生重大影响，如果选择较小的k值，相当于在较小的邻域中训练实例进行预测，这样有点是“近似误差”会减小，即只与输入实例较近（相似）的训练实例才会起作用，缺点是“估计误差”会增大，即对近邻的实例点很敏感。而k值过大则相反。实际中取较小的k值通过交叉验证的方法取最优k值。

3.k近邻法的分类决策规则往往采用多数表决的方式，这等价于“经验风险最小化”。

k近邻算法的实现：kd树

实现k近邻法是要考虑的主要问题是如何退训练数据进行快速的k近邻搜索，当训练实例数很大是显然通过一般的线性搜索方式效率低下，因此为了提高搜索效率，需要构造特殊的数据结构对训练实例进行存储。kd树就是一种不错的数据结构，可以大大提高搜索效率。

本质商kd树是对k维空间的一个划分，构造kd树相当与使用垂直于坐标轴的超平面将k维空间进行切分，构造一系列的超矩形，kd树的每一个结点对应一个这样的超矩形。

kd树本质上是一棵二叉树，当通过一定规则构造是他是平衡的。

下面是过早kd树的算法：

• 开始：构造根结点，根节点对应包含所有训练实例的k为空间。 选择第1维为坐标轴，以所有训练实例的第一维数据的中位数为切分点，将根结点对应的超矩形切分为两个子区域。由根结点生成深度为1的左右子结点，左结点对应第一维坐标小于切分点的子区域，右子结点对应第一位坐标大于切分点的子区域。
• 重复：对深度为j的结点选择第l维为切分坐标轴，l=j(modk)+1,以该区域中所有训练实例的第l维的中位数为切分点，重复第一步。
• 直到两个子区域没有实例存在时停止。形成kd树。

以下是kd树的python实现

准备工作

#读取数据准备
def file2matrix(filename):
  fr = open(filename)
  returnMat = []     #样本数据矩阵
  for line in fr.readlines():
    line = line.strip().split('\t')
    returnMat.append([float(line[0]),float(line[1]),float(line[2]),float(line[3])])
  return returnMat
  
#将数据归一化，避免数据各维度间的差异过大
def autoNorm(data):
  #将data数据和类别拆分
  data,label = np.split(data,[3],axis=1)
  minVals = data.min(0)   #data各列的最大值
  maxVals = data.max(0)    #data各列的最小值
  ranges = maxVals - minVals
  normDataSet = np.zeros(np.shape(data))
  m = data.shape[0]
  #tile函数将变量内容复制成输入矩阵同样大小的矩阵
  normDataSet = data - np.tile(minVals,(m,1))    
  normDataSet = normDataSet/np.tile(ranges,(m,1))
  #拼接
  normDataSet = np.hstack((normDataSet,label))
  return normDataSet

//数据实例
40920  8.326976  0.953952  3
14488  7.153469  1.673904  2
26052  1.441871  0.805124  1
75136  13.147394  0.428964  1
38344  1.669788  0.134296  1
72993  10.141740  1.032955  1
35948  6.830792  1.213192  3
42666  13.276369  0.543880  3
67497  8.631577  0.749278  1
35483  12.273169  1.508053  3
//每一行是一个数据实例，前三维是数据值，第四维是类别标记

树结构定义

#构建kdTree将特征空间划分
class kd_tree:
  """
  定义结点
  value:节点值
  dimension：当前划分的维数
  left:左子树
  right:右子树
  """
  def __init__(self, value):
    self.value = value
    self.dimension = None    #记录划分的维数
    self.left = None
    self.right = None
  
  def setValue(self, value):
    self.value = value
  
  #类似Java的toString()方法
  def __str__(self):
    return str(self.value)

kd树构造

def creat_kdTree(dataIn, k, root, deep):
  """
  data:要划分的特征空间（即数据集）
  k:表示要选择k个近邻
  root:树的根结点
  deep:结点的深度
  """
  #选择x(l)(即为第l个特征)为坐标轴进行划分，找到x(l)的中位数进行划分
#   x_L = data[:,deep%k]    #这里选取第L个特征的所有数据组成一个列表
  #获取特征值中位数，这里是难点如果numpy没有提供的话
  
  if(dataIn.shape[0]>0):   #如果该区域还有实例数据就继续
    dataIn = dataIn[dataIn[:,int(deep%k)].argsort()]    #numpy的array按照某列进行排序
    data1 = None; data2 = None
    #拿取根据xL排序的中位数的数据作为该子树根结点的value
    if(dataIn.shape[0]%2 == 0):   #该数据集有偶数个数据
      mid = int(dataIn.shape[0]/2)
      root = kd_tree(dataIn[mid,:])
      root.dimension = deep%k
      dataIn = np.delete(dataIn,mid, axis = 0)
      data1,data2 = np.split(dataIn,[mid], axis=0) 
      #mid行元素分到data2中，删除放到根结点中
    elif(dataIn.shape[0]%2 == 1):
      mid = int((dataIn.shape[0]+1)/2 - 1)  #这里出现递归溢出，当shape为(1,4)时出现，原因是np.delete时没有赋值给dataIn
      root = kd_tree(dataIn[mid,:])
      root.dimension = deep%k
      dataIn = np.delete(dataIn,mid, axis = 0)
      data1,data2 = np.split(dataIn,[mid], axis=0) #mid行元素分到data1中，删除放到根结点中
    #深度加一
    deep+=1
    #递归构造子树
    #这里犯了严重错误，递归调用是将root传递进去，造成程序混乱，应该给None
    root.left = creat_kdTree(data1, k, None, deep)
    root.right = creat_kdTree(data2, k, None, deep)
  return root

前序遍历测试

#前序遍历kd树
def preorder(kd_tree,i):
  print(str(kd_tree.value)+" :"+str(kd_tree.dimension)+":"+str(i))
  if kd_tree.left != None:
    preorder(kd_tree.left,i+1)
  if kd_tree.right != None:
    preorder(kd_tree.right,i+1)

kd树的最近邻搜索

最近邻搜索算法，k近邻搜索在此基础上实现

原理：首先找到包含目标点的叶节点；然后从该也结点出发，一次退回到父节点，不断查找与目标点最近的结点，当确定不可能存在更近的结点是停止。

def findClosest(kdNode,closestPoint,x,minDis,i=0):
  """
  这里存在一个问题，当传递普通的不可变对象minDis时，递归退回第一次找到
  最端距离前，minDis改变，最后结果混乱，这里传递一个可变对象进来。
  kdNode:是构造好的kd树。
  closestPoint：是存储最近点的可变对象，这里是array
  x：是要预测的实例
  minDis：是当前最近距离。
  """
  if kdNode == None:
    return
  #计算欧氏距离
  curDis = (sum((kdNode.value[0:3]-x[0:3])**2))**0.5
  if minDis[0] < 0 or curDis < minDis[0] :
    i+=1
    minDis[0] = curDis 
    closestPoint[0] = kdNode.value[0]
    closestPoint[1] = kdNode.value[1]
    closestPoint[2] = kdNode.value[2]
    closestPoint[3] = kdNode.value[3]
    print(str(closestPoint)+" : "+str(i)+" : "+str(minDis))
  #递归查找叶节点
  if kdNode.value[kdNode.dimension] >= x[kdNode.dimension]:
    findClosest(kdNode.left,closestPoint,x,minDis,i)
  else:
    findClosest(kdNode.right, closestPoint, x, minDis,i) 
  #计算测试点和分隔超平面的距离，如果相交进入另一个叶节点重复
  rang = abs(x[kdNode.dimension] - kdNode.value[kdNode.dimension])
  if rang > minDis[0] :
    return
  if kdNode.value[kdNode.dimension] >= x[kdNode.dimension]:
    findClosest(kdNode.right,closestPoint,x,minDis,i)
  else:
    findClosest(kdNode.left, closestPoint, x, minDis,i)

测试：

data = file2matrix("datingTestSet2.txt")
data = np.array(data)
normDataSet = autoNorm(data)
sys.setrecursionlimit(10000)      #设置递归深度为10000
trainSet,testSet = np.split(normDataSet,[900],axis=0) 
kdTree = creat_kdTree(trainSet, 3, None, 0)
newData = testSet[1,0:3]
closestPoint = np.zeros(4)
minDis = np.array([-1.0])
findClosest(kdTree, closestPoint, newData, minDis)
print(closestPoint)
print(testSet[1,:])
print(minDis)

测试结果

[0.35118819 0.43961918 0.67110669 3.        ] : 1 : [0.40348346]
[0.11482037 0.13448927 0.48293309 2.        ] : 2 : [0.30404792]
[0.12227055 0.07902201 0.57826697 2.        ] : 3 : [0.22272422]
[0.0645755  0.10845299 0.83274698 2.        ] : 4 : [0.07066192]
[0.10020488 0.15196271 0.76225551 2.        ] : 5 : [0.02546591]
[0.10020488 0.15196271 0.76225551 2.        ]
[0.08959933 0.15442555 0.78527657 2.        ]
[0.02546591]

k近邻搜索实现

在最近邻的基础上进行改进得到：

这里的closestPoint和minDis合并，一同处理

#k近邻搜索
def findKNode(kdNode, closestPoints, x, k):
  """
  k近邻搜索，kdNode是要搜索的kd树
  closestPoints:是要搜索的k近邻点集合,将minDis放入closestPoints最后一列合并
  x：预测实例
  minDis：是最近距离
  k:是选择k个近邻
  """
  if kdNode == None:
    return
  #计算欧式距离
  curDis = (sum((kdNode.value[0:3]-x[0:3])**2))**0.5
  #将closestPoints按照minDis列排序,这里存在一个问题，排序后返回一个新对象
  #不能将其直接赋值给closestPoints
  tempPoints = closestPoints[closestPoints[:,4].argsort()]
  for i in range(k):
    closestPoints[i] = tempPoints[i]
  #每次取最后一行元素操作
  if closestPoints[k-1][4] >=10000 or closestPoints[k-1][4] > curDis:
    closestPoints[k-1][4] = curDis
    closestPoints[k-1,0:4] = kdNode.value 
    
  #递归搜索叶结点
  if kdNode.value[kdNode.dimension] >= x[kdNode.dimension]:
    findKNode(kdNode.left, closestPoints, x, k)
  else:
    findKNode(kdNode.right, closestPoints, x, k)
  #计算测试点和分隔超平面的距离，如果相交进入另一个叶节点重复
  rang = abs(x[kdNode.dimension] - kdNode.value[kdNode.dimension])
  if rang > closestPoints[k-1][4]:
    return
  if kdNode.value[kdNode.dimension] >= x[kdNode.dimension]:
    findKNode(kdNode.right, closestPoints, x, k)
  else:
    findKNode(kdNode.left, closestPoints, x, k)

测试

data = file2matrix("datingTestSet2.txt")
data = np.array(data)
normDataSet = autoNorm(data)
sys.setrecursionlimit(10000)      #设置递归深度为10000
trainSet,testSet = np.split(normDataSet,[900],axis=0) 
kdTree = creat_kdTree(trainSet, 3, None, 0)
newData = testSet[1,0:3]
print("预测实例点："+str(newData))
closestPoints = np.zeros((3,5))     #初始化参数
closestPoints[:,4] = 10000.0      #给minDis列赋值
findKNode(kdTree, closestPoints, newData, 3)
print("k近邻结果："+str(closestPoints))

测试结果

预测实例点：[0.08959933 0.15442555 0.78527657]

k近邻结果：[[0.10020488 0.15196271 0.76225551 2.         0.02546591]
 [0.10664709 0.13172159 0.83777837 2.         0.05968697]
 [0.09616206 0.20475001 0.75047289 2.         0.06153793]]