[图] 最小生成树-Prime算法和Kruskal算法

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Prime算法

1. 概述

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

2. 算法简单描述

1. 输入：一个加权连通图，其中顶点集合为 V，边集合为 E；
2. 初始化：V_new = {x}，其中 x 为集合 V 中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3. 重复下列操作，直到 V_new = V：

   1. 在集合 E 中选取权值最小的边 <u, v>，其中 u 为集合 V_new 中的元素，而v不在 V_new 集合当中，并且 v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
   2. 将v加入集合 V_new中，将 <u, v> 边加入集合 E_new 中；

4 .输出：使用集合 V_new 和 E_new 来描述所得到的最小生成树。

下面对算法的图例描述

3. 简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1. 设prime生成的树为 G₀
2. 假设存在 G_min 使得cost(G_min) < cost(G₀) 则在 G_min 中存在 <u,v> 不属于G₀
3. 将<u,v>加入 G₀ 中可得一个环，且 <u,v> 不是该环的最长边(这是因为 <u,v> ∈ G_min)
4. 这与prime每次生成最短边矛盾
5. 故假设不成立，命题得证.

4. 代码实现

// to be done ...

5. 时间复杂度

Prime算法主要用于边比较多, 点比较少的时候

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v²)
邻接表:O(e * log₂v)

Kruskal算法

1. 概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有 Prime 算法和 Boruvka 算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和 Boruvka 算法不同的地方是，Kruskal 算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2. 算法简单描述

1. 记 Graph 中有v个顶点，e个边
2. 新建图 Graph_new，Graph_new中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3. 将原图 Graph_new 中所有e个边按权值从小到大排序
4. 循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图 Graph_new 中所有的节点都在同一个连通分量中

如果这条边连接的两个节点于图 Graph_new 中不在同一个连通分量中
添加这条边到图 Graph_new 中

图例描述：

3. 简单证明Kruskal算法

对图的顶点数 n 做归纳，证明 Kruskal 算法对任意 n 阶图适用。

归纳基础：

n = 1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设 Kruskal 算法对 n ≤ k 阶图适用，那么，在 k + 1 阶图 G 中，我们把最短边的两个端点 a 和 b 做一个合并操作，即把 u 与 v 合为一个点 v'，把原来接在 u 和 v 的边都接到 v' 上去，这样就能够得到一个 k阶图 G'(u ,v 的合并是 k + 1 少一条边)，G' 最小生成树 T' 可以用Kruskal 算法得到。

我们证明 T' + {<u,v>} 是 G 的最小生成树。

用反证法，如果 T' + {<u,v>} 不是最小生成树，最小生成树是 T，即W(T) < W(T' + {<u,v>})。显然 T 应该包含 <u,v>，否则，可以用<u,v> 加入到 T 中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T - {<u,v>}，是 G' 的生成树。所以 W(T-{<u,v>}) <= W(T')，也就是 W(T) <= W(T') + W(<u,v>) = W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T' + {<u,v>}是 G 的最小生成树，Kruskal 算法对 k+1 阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal 算法得证。

4. 代码实现

// to be done ...

5. 时间复杂度

Kruskal算法主要用于边比较少, 点比较多的时候

e * log₂e (e为图中的边数)