「模拟赛20180307」三元组 exclaim 枚举+树状数组

题目描述

给定 $n,k$ ，求有多少个三元组 $(a,b,c)$ 满足 $1≤a≤b≤c≤n$且$a + b^2 ≡ c^3\ (mod\ k)$。

输入

多组数据，第一行数据组数$T$。

每组数据两个整数，$n$和$k$。

输出

$T$行，每行一个整数，表示满足条件的三元组的个数。

样例输入

1

10 7

样例输出

27

数据范围

$1≤n,k≤10^5$

$T≤400$

时间限制$4s$

题解

与其他学校互测，然后做题感觉很不友好……

这道题数据很有特点（哪里很有特点了），$10^5$显然是一个象征性的数字，它意味着$O(n\ log\ n)$是可以过的（这么大的$T$被无视了啊）。

那么很自然的想到，这个式子并没有什么规律（我也很无奈啊），我们可以考虑枚举$a,b,c$中的$1$个。

但是我们选择哪一个比较好呢？容易想到，应该是$c$，它的次数最高，不易计算。

接下来考虑一个简化的问题，如果不取余$k$，该怎么办？

对于一个数$b$，由于$1≤a≤b$，显然$c^3$只有在$[b^2+1,b^2+b]$范围内才有解，而且是唯一解。

所以每一个$b$可以为在$[b^2+1,b^2+b]$的$c^3$提供一个解，这不就是区间增加一个值吗？树状数组即可做到

再考虑取余$k$时，发现情况如出一辙，一样的做就可以了。唯一一个问题就是，$[b^2+1,b^2+b]$可能长度超过了$k$。

这时能发现长度超过$k$后完全覆盖了所有区域，任何一个$c$都可以使用这个$b$，我们只需要一个计数器$count$，每次增加$\left \lfloor\frac{b}{k}\right \rfloor$。

现在，这道题的解法就呼之欲出了。我们从小到大枚举$c$，先在树状数组$(tree)$中$[c^2+1,c^2+c]$的区间加上$1$，并更新$count$，答案就等于$tree[c^3\%k]+count$。时间复杂度为$O(Tn\ log\ n)$（再说一次请无视$T$的大小）

$Code:$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100005
#define ll long long
int T, n, mod;
ll ans, now, t[N];
void update(int x, int v)
{
	for (int i = x; i <= mod; i += i & -i)
		t[i] += v;
}
ll getsum(int x)
{
	ll ans = 0;
	for (int i = x; i; i -= i & -i)
		ans += t[i];
	return ans;
}
int main()
{
	freopen("exclaim.in", "r", stdin);
	freopen("exclaim.out", "w", stdout);
	scanf("%d", &T);
	for (int cas = 1; cas <= T; cas++)
	{
		scanf("%d%d", &n, &mod);
		ans = now = 0;
		memset(t, 0, sizeof(t));
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			int l =(1ll * i * i + 1)% mod + 1, r =(1ll * i * i + i)% mod + 1;
			if (l <= r)
				update(l, 1), update(r + 1, -1);
			else
				update(1, 1), update(r + 1, -1), update(l, 1);
			int c = 1ll * i * i % mod * i % mod;
			now +=(i - 1)/ mod;
			ans += getsum(c + 1) + now;
		}
		printf("Case %d: ", cas);
		cout << ans;
		putchar(10);
	}
}

最后的吐槽：$exclaim$并不是三元组的意思，是惊叫的意思……至于为什么，我也不知道……