高级树状数组——区间修改区间查询、二位树状数组
迷思 2017-12-14
“高级”数据结构——树状数组！
※本文一切代码未经编译，不保证正确性，如发现问题，欢迎指正！
1. 单点修改 + 区间查询
最简单的树状数组就是这样的：
void add(int p, int x){ //给位置p增加x
while(p <= n) sum[p] += x, p += p & -p;
}
int ask(int p){ //求位置p的前缀和
int res = ;
while(p) res += sum[p], p -= p & -p;
return res;
}
int range_ask(int l, int r){ //区间求和
return ask(r) - ask(l - );
}2. 区间修改 + 单点查询
通过“差分”（就是记录数组中每个元素与前一个元素的差），可以把这个问题转化为问题1。
查询
设原数组为\(a[i]\), 设数组\(d[i] = a[i] - a[i - 1] (a[0] = 0)\)，则 \(a[i] = \sum_{j = 1}^{i}d[j]\)，可以通过求\(d[i]\)的前缀和查询。
修改
当给区间\([l, r]\)加上x的时候，\(a[l]\) 与前一个元素 \(a[l - 1]\) 的差增加了\(x\)，\(a[r + 1]\) 与 \(a[r]\) 的差减少了\(x\)。根据\(d[i]\)数组的定义，只需给\(a[l]\) 加上 \(x\), 给\(a[r + 1]\) 减去 \(x\) 即可。
void add(int p, int x){ //这个函数用来在树状数组中直接修改
while(p <= n) sum[p] += x, p += p & -p;
}
void range_add(int l, int r, int x){ //给区间[l, r]加上x
add(l, x), add(r + , -x);
}
int ask(int p){ //单点查询
int res = ;
while(p) res += sum[p], p -= p & -p;
return res;
}3. 区间修改 + 区间查询
这是最常用的部分，也是用线段树写着最麻烦的部分——但是现在我们有了树状数组！
怎么求呢？我们基于问题2的“差分”思路，考虑一下如何在问题2构建的树状数组中求前缀和：
位置p的前缀和 =
\[\sum_{i = 1}^{p} a[i] = \sum_{i = 1}^{p} \sum_{j = 1}^{i} d[j]\]
在等式最右侧的式子\(\sum_{i = 1}^{p} \sum_{j = 1}^{i} d[j]\)中，\(d[1]\) 被用了\(p\)次，\(d[2]\)被用了\(p - 1\)次……那么我们可以写出：
位置p的前缀和 =
\[\sum_{i = 1}^{p} \sum_{j = 1}^{i} d[j] = \sum_{i = 1}^{p} d[i] * (p - i + 1) = (p + 1) * \sum_{i = 1}^{p}d[i] - \sum_{i = 1}^{p}d[i]*i\]
那么我们可以维护两个数组的前缀和：
一个数组是 \(sum1[i] = d[i]\)，
另一个数组是 \(sum2[i] = d[i] * i\)。
查询
位置p的前缀和即： (p + 1) * sum1数组中p的前缀和 - sum2数组中p的前缀和。
区间[l, r]的和即：位置r的前缀和 - 位置l的前缀和。
修改
对于sum1数组的修改同问题2中对d数组的修改。
对于sum2数组的修改也类似，我们给 sum2[l] 加上 l * x，给 sum2[r + 1] 减去 (r + 1) * x。
void add(ll p, ll x){
for(int i = p; i <= n; i += i & -i)
sum1[i] += x, sum2[i] += x * p;
}
void range_add(ll l, ll r, ll x){
add(l, x), add(r + , -x);
}
ll ask(ll p){
ll res = ;
for(int i = p; i; i -= i & -i)
res += (p + ) * sum1[i] - sum2[i];
return res;
}
ll range_ask(ll l, ll r){
return ask(r) - ask(l - );
}用这个做区间修改区间求和的题，无论是时间上还是空间上都比带lazy标记的线段树要优。
4. 二维树状数组
我们已经学会了对于序列的常用操作，那么我们不由得想到（谁会想到啊喂）……能不能把类似的操作应用到矩阵上呢？这时候我们就要写二维树状数组了！
在一维树状数组中，tree[x]（树状数组中的那个“数组”）记录的是右端点为x、长度为lowbit(x)的区间的区间和。
那么在二维树状数组中，可以类似地定义tree[x][y]记录的是右下角为(x, y)，高为lowbit(x), 宽为 lowbit(y)的区间的区间和。
单点修改 + 区间查询
void add(int x, int y, int z){ //将点(x, y)加上z
int memo_y = y;
while(x <= n){
y = memo_y;
while(y <= n)
tree[x][y] += z, y += y & -y;
x += x & -x;
}
}
void ask(int x, int y){//求左上角为(1,1)右下角为(x,y) 的矩阵和
int res = , memo_y = y;
while(x){
y = memo_y;
while(y)
res += tree[x][y], y -= y & -y;
x -= x & -x;
}
}区间修改 + 单点查询
我们对于一维数组进行差分，是为了使差分数组前缀和等于原数组对应位置的元素。
那么如何对二维数组进行差分呢？可以针对二维前缀和的求法来设计方案。
二维前缀和：
\[sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j]\]
那么我们可以令差分数组\(d[i][j]\) 表示 \(a[i][j]\) 与 \(a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]\) 的差。
例如下面这个矩阵
1 4 8 6 7 2 3 9 5
对应的差分数组就是
1 3 4 5 -2 -9 -3 5 1
当我们想要将一个矩阵加上x时，怎么做呢？
下面是给最中间的3*3矩阵加上x时，差分数组的变化：
0 0 0 0 0 0 +x 0 0 -x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -x 0 0 +x
这样给修改差分，造成的效果就是：
0 0 0 0 0 0 x x x 0 0 x x x 0 0 x x x 0 0 0 0 0 0
那么我们开始写代码吧！
void add(int x, int y, int z){
int memo_y = y;
while(x <= n){
y = memo_y;
while(y <= n)
tree[x][y] += z, y += y & -y;
x += x & -x;
}
}
void range_add(int xa, int ya, int xb, int yb, int z){
add(xa, ya, z);
add(xa, yb + , -z);
add(xb + , ya, -z);
add(xb + , yb + , z);
}
void ask(int x, int y){
int res = , memo_y = y;
while(x){
y = memo_y;
while(y)
res += tree[x][y], y -= y & -y;
x -= x & -x;
}
}区间修改 + 区间查询
类比之前一维数组的区间修改区间查询，下面这个式子表示的是点(x, y)的二维前缀和：
\[\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}\sum_{k=1}^{i}\sum_{h=1}^{j}d[h][k]\] (d[h][k]为点(h, k)对应的“二维差分”(同上题))
这个式子炒鸡复杂( \(O(n^4)\) 复杂度！)，但利用树状数组，我们可以把它优化到 \(O(\log^2n)\)！
首先，类比一维数组，统计一下每个\(d[h][k]\)出现过多少次。\(d[1][1]\)出现了\(x*y\)次，\(d[1][2]\)出现了\(x*(y - 1)\)次……\(d[h][k]\) 出现了 \((x - h + 1)*(y - k + 1)\) 次。
那么这个式子就可以写成：
\[\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j] * (x + 1 - i) * (y + 1 - j)\]
把这个式子展开，就得到：
\[(x + 1) * (y + 1) * \sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j]\]
\[- (y + 1) * \sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j] * i\]
\[- (x + 1) * \sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j] * j\]
\[+ \sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j] * i * j\]
那么我们要开四个树状数组，分别维护：
\(d[i][j], d[i][j] * i, d[i][j] * j, d[i][j] * i * j\)
这样就完成了！
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){
char c; bool op = 0;
while((c = getchar()) < '0' || c > '9')
if(c == '-') op = 1;
ll res = c - '0';
while((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
res = res * 10 + c - '0';
return op ? -res : res;
}
const int N = 205;
ll n, m, Q;
ll t1[N][N], t2[N][N], t3[N][N], t4[N][N];
void add(ll x, ll y, ll z){
for(int X = x; X <= n; X += X & -X)
for(int Y = y; Y <= m; Y += Y & -Y){
t1[X][Y] += z;
t2[X][Y] += z * x;
t3[X][Y] += z * y;
t4[X][Y] += z * x * y;
}
}
void range_add(ll xa, ll ya, ll xb, ll yb, ll z){ //(xa, ya) 到 (xb, yb) 的矩形
add(xa, ya, z);
add(xa, yb + 1, -z);
add(xb + 1, ya, -z);
add(xb + 1, yb + 1, z);
}
ll ask(ll x, ll y){
ll res = 0;
for(int i = x; i; i -= i & -i)
for(int j = y; j; j -= j & -j)
res += (x + 1) * (y + 1) * t1[i][j]
- (y + 1) * t2[i][j]
- (x + 1) * t3[i][j]
+ t4[i][j];
return res;
}
ll range_ask(ll xa, ll ya, ll xb, ll yb){
return ask(xb, yb) - ask(xb, ya - 1) - ask(xa - 1, yb) + ask(xa - 1, ya - 1);
}
int main(){
n = read(), m = read(), Q = read();
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= m; j++){
ll z = read();
range_add(i, j, i, j, z);
}
}
while(Q--){
ll ya = read(), xa = read(), yb = read(), xb = read(), z = read(), a = read();
if(range_ask(xa, ya, xb, yb) < z * (xb - xa + 1) * (yb - ya + 1))
range_add(xa, ya, xb, yb, a);
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= m; j++)
printf("%lld ", range_ask(i, j, i, j));
putchar('\n');
}
return 0;
} 