机器学习中的数学意义

机器学习中的用于声称性能的指标标准很少被讨论。由于在这个问题上似乎没有一个明确的、广泛的共识，因此我认为提供我一直在倡导并尽可能遵循的标准可能会很有趣。它源于这个简单的前提，这是我的科学老师从中学开始就灌输给我的：

• 科学报告的一般规则是，您写下的每个数字都应为“ 真”的，因为“ 真”的定义是什么。
• 让我们来研究一下这对测试性能等统计量意味着什么。当你在科学出版物中写下以下陈述时：
• 测试准确率为52.34%。你所表达的是，据你所知，你的模型在从测试分布中提取的未见数据上成功的概率在0.52335和0.52345之间。

这是一个非常强有力的声明。

考虑你的测试集是从正确的测试分布中抽取的N个样本IID组成的。成功率可以表示为一个二项式变量，其平均概率p由样本平均值估计：p ≅ s / N

• 其标准差为：σ=√p(1-p)。
• 其中当p=0.5时，其上限为0.5。
• 在正态近似下，估计量的标准差为：δ=σ/√N。

这个精度估计上的误差δ 是这样的，在最坏的情况下，有约50%的精度：

换句话说，为了保证上述报告中例子52.34%的准确率，你的测试集的大小至少应该在30M样本的数量级上!这种粗略的分析很容易转化为除了准确率以外的任何可计算的数量，尽管不能转化为像似然率或困惑度这样的连续数字。

下面是一些常见的机器学习数据集的说明。

在ImageNet上可以合理地报告多少位数的精度?准确率在80%左右，测试集是15万张图片：

• √(0.8*0.2/150000) = 0.103%

这意味着你几乎可以报告XX.X%的数字，而实际上每个人都是这样做的。

MNIST呢，准确率在99%：

• √(0.99*0.01/10000) = 0.099%

噗，也报个XX.X%就OK了!

然而，最值得注意的是，在大多数情况下，性能数据并不是单独呈现的，而是用来比较同一测试集上的多种方法。在这种情况下，实验之间的抽样方差会被抵消，即使在样本量较小的情况下，它们之间的准确度差异也可能在统计学上很显著。估计图方差的一个简单方法是执行bootstrap重采样。更严格、通常更严格的检验包括进行配对差异检验或更普遍的方差分析。

报告超出其内在精度的数字可能很具有极大的吸引力，因为在与基线进行比较的情况下，或者当人们认为测试集是一成不变的情况下，同时也不是从测试分布中抽取的样本时，性能数字往往更加重要。当在生产中部署模型时，这种做法会让人感到惊讶，并且固定的测试集假设突然消失了，还有一些无关紧要的改进。更普遍的是，这种做法会直接导致对测试集进行过拟合。

那么，在我们的领域中数字为“真”意味着什么?好吧，这确实很复杂。对于工程师而言，很容易辩称不应该报告的尺寸超出公差。或者对于物理学家来说，物理量不应超过测量误差。对于机器学习从业者，我们不仅要应对测试集的采样不确定性，而且还要应对独立训练运行，训练数据的不同初始化和改组下的模型不确定性。

按照这个标准，在机器学习中很难确定哪些数字是 "真 "的。解决办法当然是尽可能地报告其置信区间。置信区间是一种更精细的报告不确定性的方式，可以考虑到所有随机性的来源，以及除简单方差之外的显着性检验。它们的存在也向你的读者发出信号，表明你已经考虑过你所报告的内容的意义，而不仅仅是你的代码所得到的数字。用置信区间表示的数字可能会被报告得超出其名义上的精度，不过要注意的是，你现在必须考虑用多少位数来报告不确定性，正如这篇博文所解释的那样。一路走来都是乌龟。

数字少了，杂乱无章的东西就少了，科学性就强了。