求 0-N 内有多少个素数

问题：求 0-N 内素数的个数。

预备知识

1. 什么是素数：素数（又叫质数），与之相反的是合数。素数的因数只有 1 和 他本身，例如：7 = 1 * 7。而 6 = 1 * 6 = 2 * 3，因此6不是素数。 规定：0 和 1 既不是 素数 也不是 合数。
2. 判断素数：如果一个数 x 是素数，那么在整数范围 [2,√x ] 之间，找不到任何能整除x 的整数。为什么只需要尝试到 √x ，而不是 n-1 呢？（肯定不是n呀，因为n是他本身，判断 n 就和判断 1 一样，没有意义的）。
3. √x 的由来：一个正数 n ，可以表示成：n = √n * √n 。n 的两个因数有以下两种可能：• 两个因数都为 √n•一个因数大于 √n，另一个因数一定小于√n。如果我们在 2 到 √n 之间找不到一个因数的话，那么对应的在√n 到 n-1 的范围内 绝对也找不到另外一个因数。而素数所期待的不正是 2 到 n-1 的范围内找不到两个因数，只希望因数为 1 和 n 吗？

阶段一

public void countPrime_1(int n) {
 
         // 之所以数组范围设置为 n+1，是因为数组从下标为 1 开始计数，n表示最后一个数
         // 数组初始值为false，因为我们假设false代表是素数，true代表不是素数
         boolean[] b = new boolean[n + 1];
 
         // 2 - n 每个数逐一判断
         for (int i = 2; i <= n; i++) {
             // 【2，√i】
             for (int j = 2; j * j <= i; j++) {
                 if (i % j == 0) {
                     // 在判断 i 是否为素数的过程中，遍历 2 - √i
                     // 一旦发现在【2，√i】中，有数整除了，将数组b中下标为i的设置为true，
                     // 代表不是素数，并且中断内层for循环，因为已经判断出i不是素数了，没有必要
                     // 继续循环判断下去。 直接判断第i+1个数
                     b[i] = true;
                     break;
                 }
             }
         }
 
         /**
          * 此部分内容在接下来将不写
          */
         int count = 0;
         // 下标从2开始，是因为 1 不是素数也不是合数，没有必要判断
         for (int i = 2; i <= n; i++) {
             // 当为false时，代表素数
             if (b[i] == false) {
                 count++;
             }
         }
     }

注意：在第10行中的for循环内，使用的是 j * j <= i ，而不是 j <= sqrt(i)。原因：第一：sqrt是用来处理浮点数的，而浮点数的计算速度远远慢于integer。第二，函数调用也会造成时间的浪费。第三：浮点数的存储误差可能引出致命错误，如 sqrt(9) 可能等于 2.9999999 ，那么 int(sqrt(9)) 就等于2 而不是3。

阶段二

筛选法：在一张纸上写上 1-n 全部整数，然后逐个判断是否为素数，找出一个非素数，就把它挖掉，最后剩下的就是素数。

具体做法如下：

1. 先将 1 挖掉（因为1不是素数）
2. 用 2 去除它后面的各个数，把能被 2 整除的数挖掉，即把 2 的倍数挖掉
3. 用 3 去除它后面各数，把 3 的倍数挖掉
4. 分别用 4、5 等数作为除数去除这些数以后的各数。这个过程一直进行到在除数后面的数已全被挖掉为止
5. 剩下的数就是素数

public void countPrime_2(int n) {
         
         boolean[] b = new boolean[n + 1];
 
         for (int p = 2; p * p <= n; p++) {
             // 假设当 p 为2时，也就是判断在数组 b 中下标为 2 的值是不是false，即 数字2 是不是素数
             // 如果是素数，就将 2 的倍数 4 6 8 10 等等全部标记为 非素数，即b[2] b[4] b[6] 的值为true
             if (b[p] == false) {
                 /**
                  *  当 p 为 3 时，j = 3 * 3 = 9 。哎？？？ 怎么直接将 9 标记为 非素数了 ？？？  
                  *  不应该是将 6 先标记为 非素数吗？ 直接标记 9 了，那 6 怎么办 ？？？
                  *  因为： 6 也是 素数2的倍数，在计算素数 2 的时候就已经将6除去了
                  *  所以直接从 p * p 开始计算，相当于又优化了
                  *  j = j + p 代表跳到 p 的下一个倍数
                  */
                 for (int j = p * p; j <= n; j = j + p) {
                     if (b[j] == false) {
                         b[j] = true;
                     }
                 }
             }
         }
     }

对于一个数p，会依次去除p*p , p*(p+1) , p*(p+2) .... p*(p+k)【p*(p+k)<=n】

前面不是说要去除 p 的所有倍数的吗？那 p*2 ,p*3, p*4 ... p*(p-1)怎么不去除呢？

他们已经被去除了。因为当前我们要消去 p 的倍数，那么，之前一定去除了 2 3 4 ...p-3 , p-2 ，p-1 的这些数 的倍数，举个例子：之前一定去除了 2*p 3*p 4*p (p-1)*p。所以 , 当想去除p的倍数时，如果我们还是去除 p*2 p*3 p*4 p*(p-1) 那么岂不是与 我们去除2的倍数时 会去除 2*p 、去除3的倍数时 会去除 3*p、去除4的倍数时 会去除 4*p 重复了 ？？？