吴恩达深度学习课补充教程：交互式demo助你理解神经网络初始化
gybheroin 2019-05-27
这篇教程共包括四部分：有效初始化的重要性、梯度爆炸或消失问题、什么是恰当的初始化，以及 Xavier 初始化的数学证明。
1. 有效初始化的重要性
要想构建一个机器学习算法，通常你需要定义一个架构（如 Logistic 回归、支持向量机、神经网络），然后训练它学习参数。以下是训练神经网络的常见过程：
- 初始化参数
- 选择优化算法
- 重复以下步骤：
- 将输入向前传播
- 计算成本函数
- 使用反向传播传递成本对参数的梯度
- 根据优化算法，基于梯度更新每个参数
之后，给出一个新的数据点，你就可以使用该模型预测其类别了。
初始化步骤对模型的最终性能至关重要，它需要正确的方法。下面给出了一个交互式 demo，你可以尝试使用不同的方法初始化网络，观察不同的初始化对网络学习的影响。
在此 demo 中，可以任意选择输入数据集、选择初始化方法，并实时查看训练效果。
你注意到当初始化方法为 zero 时，梯度和权重的变化吗？
事实上，任意常数初始化方法性能都不好。例如一个具备两个隐藏单元的神经网络，假设我们将所有偏置初始化为 0，将所有权重初始化为常量 α。如果我们在网络中前向传播输入 (x_1,x_2)，则两个隐藏单元的输出均为 relu(α x_1+α x_2)。因此，两个神经元在训练过程中的演化是对称的，也就阻止了不同的神经元学习不同的特征。
当使用太小或太大的值初始化权重时，成本函数曲线有什么变化呢？
尽管打破了对称性，但使用太小或太大的值初始化权重会分别导致学习缓慢或发散。因此，选择恰当的初始化值对于高效训练而言是必要的。
2. 梯度爆炸或消失问题
考虑以下这个 9 层神经网络：
在优化的每一次迭代中，我们观察到随着梯度从输出层向输入层传递，反向传播的梯度要么太大要么太小。这一结果是合理的，大家不妨考虑以下例子。
假设所有激活函数都是线性（恒等函数），那么输出激活如下：
其中，L=10，W^[L] 及其它 W 是 2×2 的矩阵，层 [1] 到 [L-1] 都只有两个神经元。如果我们假设 W^[1] 到 W^[L-1] 都等于 W，则输出预测为
（其中 W^L-1 是矩阵 W 的 L-1 次方，W^[L] 表示第 L 个矩阵）。
那么当初始化值过小、过大或合适时，结果会如何呢？
案例 1：过大初始化值导致梯度爆炸
考虑当每个权重的初始化值都比恒等矩阵略大的情况。
上式可以简化为
，a^[l] 的值随着 l 呈指数倍增长。当这些激活值被用于反向传播时，就会导致梯度爆炸问题。即，成本对参数的梯度过大，导致成本值在其极小值周围振荡。
案例 2：过小初始化值导致梯度消失
类似地，考虑每个权重的初始化值略小于恒等矩阵的情况。
上式可简化为
，激活值 a^[l] 随着 l 呈指数倍下降。当这些激活被用于反向传播时，会导致梯度消失问题。成本关于参数的梯度过小，导致成本在到达极小值之前已经收敛。
总之，用不合适的值进行权重初始化会导致神经网络训练发散或速度缓慢。虽然我们用简单的对称权重矩阵说明梯度爆炸和梯度消失问题，但这一观察也适用于任意过大或过小的初始化值。
3. 如何找到合适的初始化值
为了阻止梯度爆炸或消失，我们需要坚持以下规则：
- 激活值的均值应为零。
- 每一层激活值的方差应该保持一致。
在这两个假设下，反向传播的梯度信号就不会在任意层中被过小或过大的值相乘，从而在不出现梯度爆炸或消失等问题。
具体来说，想象一个层 l，其前向传播是：
我们需要遵循下式：
确保零均值，保持每一层的输入方差值不变，从而确保不会出现梯度爆炸和消失问题。该方法适用于前向传播和反向传播。推荐使用 Xavier 初始化方法（或其变体），对于每一个层 l：
也就是说，层 l 的所有权重是从正态分布中随机选取的，该分布的均值 μ=0，方差
，其中 n^[l-1] 是层 l-1 中的神经元数量。偏置被初始化为 0。
下面的交互式图展示了 Xavier 初始化对每一层激活的影响，下图展示的是一个五层的全连接神经网络。
在此交互式图中，你可以加载 MNIST 数据集，选择初始化方法，执行训练并观察不同初始化方法的效果。
Xavier 初始化的数学证明
Xavier 初始化保持每一层的方差不变。我们假设每一层的激活值是围绕 0 的正态分布。有时理解数学证明有助于掌握概念，但没有数学也可以理解基础理念。
我们使用第 3 部分介绍的层 l，假设其激活函数为 tanh。其前向传播如下所示：
我们目标是推导出 Var(a^[l-1]) 和 Var(a^[l]) 之间的关系。然后我们将理解如何初始化权重，使得 Var(a^[l-1]) = Var(a^[l])。
假设我们使用合适的值初始化网络，且输入是经过归一化的。在训练的早期，我们处于 tanh 的线性模式。值足够小，使 tanh(z^[l]) ≈ z^[l]，这意味着：
此外，
，其中
。出于简洁性考虑，我们假设 b^[l] = 0。因此，逐元素查看前面的公式 Var(a^[l-1]) = Var(a^[l]) 可以得到：
一个常见的数学 trick 是在方差之外求和。为此，我们必须遵循以下三个假设：
- 权重独立，且同分布；
- 输入独立，且同分布；
- 权重和输入互相独立。
从而得到：
另一个常见的数学 trick 是将积的方差转化为方差的积，公式如下：
使用该公式，以及
，得到：
快完成了！第一个假设引出
，第二个假设引出
，因为权重是使用零均值进行初始化的，输入是经过归一化的。从而得到：
第一个假设表明：
第二个假设引出：
它们都具备同样的思想：
组合起来，得到：
完成了！如果我们想要各个层的方差保持一致
，我们需要
。这证明了 Xavier 初始化的方差选择。
注意，在之前的步骤里，我们没有选择特定层 l。因此，我们证明了该公式适用于所有层。假设 L 是输出层。在每一层使用该公式，则我们可以将输出层的方差推导至输入层的方差：
根据我们的权重初始化方式，输出和输入层方差之间的关系将会变化巨大。注意以下三种情况：
因此，为了避免前向传播信号的消失或爆炸，我们必须通过初始化
，使 n^[l−1]Var(W^[l])=1。
通过以上证明，我们研究了在前向传播过程中计算的激活值。同样的结果也适用于反向传播梯度。同理，为了避免梯度爆炸或消失，我们必须通过初始化
，使 n^[l]Var(W^[l])=1。
结论
在实践中，机器学习工程师使用 Xavier 初始化时，要么将权重初始化为
或
。后一个分布的方差项是
的均值。
以上是 Xavier 初始化的理论证明。Xavier 初始化使用的是 tanh 激活函数。此外还有大量初始化方法。如果你使用 ReLU 激活函数，那么常用的初始化方法是 He 初始化。He 初始化的理论证明要更复杂一些，但它遵循同样的思维过程。
原文链接：http://www.deeplearning.ai/ai-notes/initialization/
