机器学习:基于sklearn的AUC的计算原理

PeterHuang0 2019-12-06

AUC原理

一、AUC起源

AUC是一种用来度量分类模型好坏的一个标准。这样的标准其实有很多,例如:大约10年前在 machine learning文献中一统天下的标准:分类精度;在信息检索(IR)领域中常用的recall和precision,等等。其实,度量反应了人们对” 好”的分类结果的追求,同一时期的不同的度量反映了人们对什么是”好”这个最根本问题的不同认识,而不同时期流行的度量则反映了人们认识事物的深度的变 化。近年来,随着machine learning的相关技术从实验室走向实际应用,一些实际的问题对度量标准提出了新的需求。特别的,现实中样本在不同类别上的不均衡分布(class distribution imbalance problem)。使得accuracy这样的传统的度量标准不能恰当的反应分类器的performance。

举个例子:测试样本中有A类样本90个,B 类样本10个。分类器C1把所有的测试样本都分成了A类,分类器C2把A类的90个样本分对了70个,B类的10个样本分对了5个。则C1的分类精度为 90%,C2的分类精度为75%。但是,显然C2更有用些。

另外,在一些分类问题中犯不同的错误代价是不同的(cost sensitive learning)。这样,默认0.5为分类阈值的传统做法也显得不恰当了。 

为了解决上述问题,人们从医疗分析领域引入了一种新的分类模型performance评判方法——ROC分析。

ROC分析本身就是一个很丰富的内容,有兴趣的读者可以自行Google。

二、ROC曲线

roc曲线:接收者操作特征(receiveroperating characteristic),roc曲线上每个点反映着对同一信号刺激的感受性。

横轴:负正类率(false postive rate FPR)特异度,划分实例中所有负例占所有负例的比例;(1-Specificity)

纵轴:真正类率(true postive rate TPR)灵敏度,Sensitivity(正类覆盖率)

2针对一个二分类问题,将实例分成正类(postive)或者负类(negative)。但是实际中分类时,会出现四种情况.

(1)若一个实例是正类并且被预测为正类,即为真正类(True Postive TP)

(2)若一个实例是正类,但是被预测成为负类,即为假负类(False Negative FN)

(3)若一个实例是负类,但是被预测成为正类,即为假正类(False Postive FP)

(4)若一个实例是负类,但是被预测成为负类,即为真负类(True Negative TN)

TP:正确的肯定数目

FN:漏报,没有找到正确匹配的数目

FP:误报,没有的匹配不正确

TN:正确拒绝的非匹配数目

列联表如下:

机器学习:基于sklearn的AUC的计算原理

由上表可得出横,纵轴的计算公式:

(1)真正类率(True Postive Rate)TPR: TP/(TP+FN),代表分类器预测的正类中实际正实例占所有正实例的比例。Sensitivity

(2)负正类率(False Postive Rate)FPR: FP/(FP+TN),代表分类器预测的正类中实际负实例占所有负实例的比例。1-Specificity

(3)真负类率(True Negative Rate)TNR: TN/(FP+TN),代表分类器预测的负类中实际负实例占所有负实例的比例,TNR=1-FPR。Specificity

假设采用逻辑回归分类器,其给出针对每个实例为正类的概率,那么通过设定一个阈值如0.6,概率大于等于0.6的为正类,小于0.6的为负类。对应的就可以算出一组(FPR,TPR),在平面中得到对应坐标点。随着阈值的逐渐减小,越来越多的实例被划分为正类,但是这些正类中同样也掺杂着真正的负实例,即TPR和FPR会同时增大。阈值最大时,对应坐标点为(0,0),阈值最小时,对应坐标点(1,1)。

如下图中实线为ROC曲线,线上每个点对应一个阈值。

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横轴FPR:1-TNR,1-Specificity,FPR越大,预测正类中实际负类越多。

纵轴TPR:Sensitivity(正类覆盖率),TPR越大,预测正类中实际正类越多。

理想目标:TPR=1,FPR=0,即图中(0,1)点,故ROC曲线越靠拢(0,1)点,越偏离45度对角线越好,Sensitivity、Specificity越大效果越好。

三、绘制ROC曲线

假设已经得出一系列样本被划分为正类的概率,然后按照大小排序,下图是一个示例,图中共有20个测试样本,“Class”一栏表示每个测试样本真正的标签(p表示正样本,n表示负样本),“Score”表示每个测试样本属于正样本的概率。

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接下来,我们从高到低,依次将“Score”值作为阈值threshold,当测试样本属于正样本的概率大于或等于这个threshold时,我们认为它为正样本(预测标签),否则为负样本(预测标签)。

举例来说,对于图中的第4个样本,其“Score”值为0.6,那么样本1,2,3,4都被认为是正样本(预测标签),因为它们的“Score”值都大于等于0.6,而其他样本则都认为是负样本(预测标签)。每次选取一个不同的threshold,我们就可以得到一组FPR和TPR,即ROC曲线上的一点。这样一来,我们一共得到了20组FPR和TPR的值,将它们画在ROC曲线的结果如下图:

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AUC(Area under Curve):Roc曲线下的面积,介于0.1和1之间。Auc作为数值可以直观的评价分类器的好坏,值越大越好。

首先AUC值是一个概率值,当你随机挑选一个正样本以及负样本,当前的分类算法根据计算得到的Score值将这个正样本排在负样本前面的概率就是AUC值,AUC值越大,当前分类算法越有可能将正样本排在负样本前面,从而能够更好地分类。

接下来,我们来具体一个实现的列子:

sklearn给出了一个计算roc的例子:

y = np.array([1, 1, 2, 2])
scores = np.array([0.1, 0.4, 0.35, 0.8])
fpr, tpr, thresholds = metrics.roc_curve(y, scores, pos_label=2)

通过计算,得到的结果(TPRFPR截断点)为

fpr = array([ 0. ,  0.5,  0.5,  1. ])
tpr = array([ 0.5,  0.5,  1. ,  1. ])
thresholds = array([ 0.8 ,  0.4 ,  0.35,  0.1 ])    #截断点

详细计算过程:

y = np.array([1, 1, 2, 2])
scores = np.array([0.1, 0.4, 0.35, 0.8])

 (1). 分析数据

y是一个一维数组(样本的真实分类)。数组值表示类别(一共有两类,1和2)。我们假设y中的1表示反例,2表示正例。即将y重写为:

y_true = [0, 0, 1, 1]

score即各个样本属于正例的概率。

(2). 针对score,将数据排序

样本预测属于P的概率(score)真实类别
y[0]0.1N
y[2]0.35P
y[1]0.4N
y[3]0.8P

(3). 将截断点依次取值为score值

将截断点依次取值为0.1, 0.35, 0.4, 0.8时,计算TPR和FPR的结果。

 3.1. 截断点为.01

说明只要score>=0.1,它的预测类别就是正例。 
此时,因为4个样本的score都大于等于0.1,所以,所有样本的预测类别都为P。

scores = [0.1, 0.4, 0.35, 0.8]
y_true = [0, 0, 1, 1] 
y_pred = [1, 1, 1, 1]

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TPR = TP/(TP+FN) = 1 

FPR = FP/(TN+FP) = 1

3.2. 截断点为0.35

说明只要score>=0.35,它的预测类别就是P。 
此时,因为4个样本的score有3个大于等于0.35。所以,所有样本的预测类有3个为P(2个预测正确,1一个预测错误);1个样本被预测为N(预测正确)。

scores = [0.1, 0.4, 0.35, 0.8]
y_true = [0, 0, 1, 1] 
y_pred = [0, 1, 1, 1]

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TPR = TP/(TP+FN) = 1 
FPR = FP/(TN+FP) = 0.5

3.3. 截断点为0.4

说明只要score>=0.4,它的预测类别就是P。 
此时,因为4个样本的score有2个大于等于0.4。所以,所有样本的预测类有2个为P(1个预测正确,1一个预测错误);2个样本被预测为N(1个预测正确,1一个预测错误)。

scores = [0.1, 0.4, 0.35, 0.8]
y_true = [0, 0, 1, 1] 
y_pred = [0, 1, 0, 1]

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 TPR = TP/(TP+FN) = 0.5 

FPR = FP/(TN+FP) = 0.5

 3.4. 截断点为0.8

说明只要score>=0.8,它的预测类别就是P。所以,所有样本的预测类有1个为P(1个预测正确);3个样本被预测为N(2个预测正确,1一个预测错误)。

scores = [0.1, 0.4, 0.35, 0.8]
y_true = [0, 0, 1, 1] 
y_pred = [0, 0, 0, 1]

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TPR = TP/(TP+FN) = 0.5 
FPR = FP/(TN+FP) = 0

计算完毕!

四、AUC的计算

   1.  最直观的,根据AUC这个名称,我们知道,计算出ROC曲线下面的面积,就是AUC的值。事实上,这也是在早期 Machine Learning文献中常见的AUC计算方法。由于我们的测试样本是有限的。我们得到的AUC曲线必然是一个阶梯状的。因此,计算的AUC也就是这些阶梯 下面的面积之和。这样,我们先把score排序(假设score越大,此样本属于正类的概率越大),然后一边扫描就可以得到我们想要的AUC。但是,这么做有个缺点,就是当多个测试样本的score相等的时候,我们调整一下阈值,得到的不是曲线一个阶梯往上或者往右的延展,而是斜着向上形成一个梯形。此时,我们就需要计算这个梯形的面积。由此,我们可以看到,用这种方法计算AUC实际上是比较麻烦的。 

   2. 一个关于AUC的很有趣的性质是,它和Wilcoxon-Mann-Witney Test是等价的。而Wilcoxon-Mann-Witney Test就是测试任意给一个正类样本和一个负类样本,正类样本的score有多大的概率大于负类样本的score(在实际预测过程中,分类器总是分别给正负样本一个概率(score)值,并根据设定的阈值,将样本预测为正或负样本标签)。有了这个定义,我们就得到了另外一中计算AUC的办法:得到这个概率。我们知道,在有限样本中我们常用的得到概率的办法就是通过频率来估计之。这种估计随着样本规模的扩大而逐渐逼近真实值。这和上面的方法中,样本数越多,计算的AUC越准确类似,也和计算积分的时候,小区间划分的越细,计算的越准确是同样的道理。具体来说就是统计一下所有的 M×N(M为正类样本的数目,N为负类样本的数目)个正负样本对中,有多少个组中的正样本的score大于负样本的score。当二元组中正负样本的 score相等的时候,按照0.5计算。然后除以MN。实现这个方法的复杂度为O(n^2)。n为样本数(即n=M+N) 
   3.  第三种方法实际上和上述第二种方法是一样的,但是复杂度减小了。它也是首先对score(预测为正标签的概率值或得分)从大到小排序,然后令最大score对应的sample的rank为n=M+N,第二大score对应sample的rank为n-1,以此类推。然后把所有的正类样本的rank相加,再减去M-1种两个正样本组合的情况。得到的就是所有的样本中有多少对正类样本的score大于负类样本的score。然后再除以M×N。即 

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特别需要注意的是,再存在score相等的情况时,对相等score的样本,需要 赋予相同的rank(无论这个相等的score是出现在同类样本还是不同类的样本之间,都需要这样处理)。具体操作就是再把所有这些score相等的样本 的rank取平均。然后再使用上述公式。 

参考:

https://www.cnblogs.com/keye/p/9367347.html

http://www.360doc.com/content/19/0420/21/34772704_830203547.shtml

https://blog.csdn.net/pzy20062141/article/details/48711355

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