OpenGL 六 - 3D数学基础 - 向量、矩阵及OpenGL中的变换

关于矩阵和向量的相关知识，大家可能和我一样毕业后几乎就慢慢遗忘干净了。但是，既然学过，回忆起来其实并不太难。而且，即使没有学过，也并不影响我们对相关API的使用。当然基础知识的理解会帮助我们弄明白和更好的进行OpenGL的开发工作。

GLTools库中的Math3d，其中包含了大量的OpenGL 3D数学的数据类型，矩阵、向量的计算等等 API。

一、向量

1、何为向量

3D笛卡尔坐标系中，一个顶点就是 XYZ 坐标空间上的一个点的位置。XYZ 就是一个向量，数学思维中一个顶点就是一个向量。

向量长度为1 的称为单位向量。向量长度 = ²√(x² + y² + z²)  即：向量的模。

把一个非单位向量缩放到 1 的过程，称为标准化。也叫做单位化向量。 -- 保留向量的方向

1.1、声明向量

M3DVector3f() -- 3维向量 (x,y,z)

M3DVector4f() -- 4维向量 (x,y,z,w) -- w: 缩放值，不缩放为:1

// 三维向量/四维向量的声明
typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
// 声明一个三维向量 
M3DVector3f vVector;
// 声明一个四维向量并初始化一个四维向量
M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};
// 声明一个三分量顶点数组，例如生成一个三角形 
M3DVector3f vVerts[] = {
    -0.5f,0.0f,0.0f, 
    0.5f,0.0f,0.0f, 
    0.0f,0.5f,0.0f
}

2、向量的点乘(dot product)

两个向量之间可以进行加、减计算，使用率较高的是点乘，点乘只发生在两个向量之间。

2个单位向量 点乘 得到 一个标量 --> 标量：没有方向，只有数值 -->  一个 [-1,1] 的值，这个值其实就是两个向量间夹?的 cos 值 -- 余弦值。

如何求2个普通向量的夹角呢？单位化向量 --> x,y,z 分别 ? 向量的模(x/|xyz|, y/|xyz|, z/|xyz|) --> 与此普通向量方向相同的单位向量。

2.1、向量的点乘

// math3d 库中提供了了关于点乘的API
// 1.m3dDotProduct3 函数获得2个向量之间的点乘结果
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
// 2.m3dGetAngleBetweenVector3 可获取2个向量之间夹角的弧度值
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v)

3、向量的叉乘(cross product)

2个向量v1、v2叉乘可得到一个向量v3，向量v3垂直于向量v1、v2 --> 法线 --> 游戏场景中

叉乘不满足交换律，因为向量是有方向的，交换叉乘方向会不同。

3.1、向量的叉乘

math3d 库中提供了关于叉乘的API
// 1.m3dCrossProduct3 函数获得2个向量之间的叉乘结果 --> 一个新的向量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f  u ,const M3DVector3f v);

二、矩阵(Matrix)

 为什么使用矩阵？

我们对一个物体进行移动旋转等操作时，物体的每个点都需要进行相应的移动旋转，简单的图形的平移可以对每个点进行x,y,z的计算，但是当物体移动很复杂，顶点又很多时，我们对每个点进行计算操作再赋值的工作量很大且易出错，更何况有旋转时我们不一定精确知道角度，此时，矩阵就解决了我们的这个问题。

矩阵一行 or 一列都是合理的，其也可以称为向量。

1、矩阵的声明

// 三维矩阵/四维矩阵的声明
typedef float M3DMatrix33f[9];
typedef float M3DMatrix44f[16];
在其他编程标准中, 许多矩阵库定义一个矩阵时使?的是二维数组;
OpenGL 的约定里，更多倾向使?一维数组，这样做的原因是: OpenGL 使?的是 Column-Major (以列为主)矩阵排序的约定。 --> 列矩阵 == 转置矩阵(数学中的)

// 单元矩阵初始化 ?式1
GLFloat m[] = {
           1,0,0,0, //X Column
           0,1,0,0, //Y Column
           0,0,1,0, //Z Column
           0,0,0,1 // Translation 
}
           
// 单元矩阵初始化 方式 2
M3DMatrix44f m = {
           1,0,0,0, //X Column
           0,1,0,0, //Y Column
           0,0,1,0, //Z Column
           0,0,0,1 // Translation 
} // 单元矩阵初始化 方式3void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m); 

2、矩阵的乘法

线性代数角度计算：线性代数中，为便于书写，坐标的 计算顺序都是从左到右的方式进行的。

变换后顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro

　　　　　　 顶点 * 模型矩阵 * 视图矩阵 * 投影矩阵　　

从OpenGL的角度：因为OpenGL中的约定是列优先矩阵，所以计算如下：

变换后顶点向量 = M_pro * M_view * M_model *  V_local 

　　　　　　 投影矩阵 * 视图变换矩阵 * 模型矩阵 * 顶点　　

矩阵的计算规则：左乘：代数中，用到两个矩阵相乘的时候，矩阵A×矩阵B，那么就称为 A左乘以B。

三、OpenGL中的变换 

1、视图变换

2个视角的 视觉坐标系 

视图变换是应?到场景中的第?种变换, 它?来确定场景中的有利位置,在默认情况下, 透视投影中 位于原点(0,0,0)，并沿着 z 轴负?向进?观察 (向显示器内部”看过去”)。当观察者点 位于原点(0,0,0) 时,就像在透视投影中?样。
视图变换将观察者放在你希望的任何位置，并允许在任何?向上观察场景, 确定视图变换就像 在场景中放置观察者并让它指向某?个?向;
从?局上考虑, 在应?任何其他模型变换之前, 必须先应?视图变换。这样做是因为, 对于视觉坐标系?言, 视图变换移动了当前的?作的坐标系; 后续的变化都会基于新调整的坐标系进?。 -- 《OpenGL超级宝典》

2、模型变换

1.2 旋转

1.4 综合变换 -- 既缩放也平移

3、投影变换