漫画:如何求图的最短路径? | 技术头条

ZTaoz 2019-04-29

漫画:如何求图的最短路径? | 技术头条

作者 | 程序员小灰

本文经授权转载自程序员小灰(ID:chengxuyuanxiaohui)

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小灰的思路如下:

第一步,利用迪杰斯特拉算法的距离表,求出从顶点A出发,到其他各个顶点的最短距离:

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第二步,继续使用迪杰斯特拉算法,求出从顶点B出发,到其他各个顶点的最短距离。

第三步,从顶点C出发,到各个顶点的最短距离。

第四步,从顶点D出发......

.......

就像这样,一直遍历到顶点G。

这个思路的时间复杂度是多少呢?

假如图中有n个顶点,如果不考虑堆优化,一次迪杰斯特拉算法的时间复杂度是O(n^2)。所以,把每一个顶点都计算一遍,总的时间复杂度是O(n^3)。

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举一个栗子:

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上图的顶点A和顶点C没有直接相连的边,它们之间的直接距离是无穷大。

如果以B作为“中继顶点”,此时A到C的最短路径就是A-B-C,最短距离是3+2=5。

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再举一个栗子:

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上图的顶点A和顶点C直接相连,距离是6。但是存在一条“迂回”路径A-B-C,距离是3+2=5<6。

所以,经过中继顶点B,从A到C的最短距离可以是5。

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下面我们来看一看Floyd算法的详细步骤。

1.要实现Floyd算法,首先需要构建带权图的邻接矩阵:

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在邻接矩阵当中,每一个数字代表着从某个顶点到另一个顶点的直接距离,这个距离是没有涉及到任何中继顶点的。

2.此时假定只允许以顶点A作为中继顶点,那么各顶点之间的距离会变成什么样子呢?

B和C之间的距离原本是无穷大,此时以A为中继,距离缩短为AB距离+AC距离=

5+2=7。

更新对应矩阵元素(橙色区域代表顶点A到其他顶点的临时距离):

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3.接下来以顶点A、B作为中继顶点,那么各顶点之间的距离会变成什么样子呢?

A和D之间的距离原本是无穷大,此时以B为中继,距离缩短为AB距离+BD距离=5+1=6。

A和E之间的距离原本是无穷大,此时以B为中继,距离缩短为AB距离+BE距离=5+6=11。

更新对应矩阵元素(橙色区域代表顶点B到其他顶点的临时距离):

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4.接下来以顶点A、B、C作为中继顶点,那么各顶点之间的距离会变成什么样子呢?

A和F之间的距离原本是无穷大,此时以C为中继,距离缩短为AC距离+CF距离=2+8=10。

更新对应矩阵元素(橙色区域代表顶点C到其他顶点的临时距离):

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以此类推,我们不断引入新的中继顶点,不断刷新矩阵中的临时距离。

最终,当所有顶点都可以作为中继顶点时,我们的距离矩阵更新如下:

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此时,矩阵中每一个元素,都对应着某顶点到另一个顶点的最短距离。

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为什么这么说呢?让我们回顾一下动态规划的两大要素:

问题的初始状态

问题的状态转移方程式

对于寻找图的所有顶点之间距离的问题,初始状态就是顶点之间的直接距离,也就是邻接矩阵。

而问题的状态转移方程式又是什么呢?

假设新引入的中继顶点是n,那么:

顶点i 到 顶点j 的新距离 = Min(顶点i 到 顶点j 的旧距离,顶点i 到 顶点n 的距离+顶点n 到 顶点j 的距离)

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final static int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void floyd(int[][] matrix){
 //循环更新矩阵的值
 for(int k=0; k<matrix.length; k++){
 for(int i=0; i<matrix.length; i++){
 for(int j=0; j<matrix.length; j++){
 if(matrix[i][k] == INF || matrix[k][j] == INF) {
 continue;
 }
 matrix[i][j] = Math.min(matrix[i][j], matrix[i][k] + matrix[k][j]);
 }
 }
 }
 // 打印floyd最短路径的结果
 System.out.printf("最短路径矩阵: 
");
 for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
 for (int j = 0; j < matrix.length; j++)
 System.out.printf("%3d ", matrix[i][j]);
 System.out.printf("
");
 }
}
public static void main(String[] args) {
 int[][] matrix = {
 {0, 5, 2, INF, INF, INF, INF},
 {5, 0, INF, 1, 6, INF, INF},
 {2, INF, 0, 6, INF, 8, INF},
 {INF, 1, 6, 0, 1, 2, INF},
 {INF, 6, INF, 1, 0, INF, 7},
 {INF, INF, 8, 2, INF, 0, 3},
 {INF, INF, INF, INF, 7, 3, 0}
 };
 floyd(matrix);
}

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