概率与数学期望初步

前置定义

\(1.\) 样本点：一个随机试验中可能出现的某种结果。

\(2.\) 样本空间：一个随机试验中所有样本点的并集。

\(3.\) 随机事件：若干个样本点的并集，样本空间的一个子集。

\(4.\) 随机变量：样本点映射成的一个实数。分离散型和连续型两种。

\(5.\) 离散型随机变量：取值有限或可数的随机变量。

概率

设样本空间为 \(\Omega\) ，若对于每个随机事件 \(A\) 都存在一个实值函数 \(P(A)\) 满足 \(P(A) \geqslant 0,P(\Omega)=1\) 且对于 \(i\) 个互斥事件 \(A_1,A_2,A_3, \cdots \cdots A_i\) 有 \(\sum_\limits{j \in [1,i]} P(A_i)=P(\cup A_i)\) ，则称 \(P(A)\) 是事件 \(A\) 发生的概率。概率的实际意义是对某个事件发生的可能性的度量，是一个取值在 \([0,1]\) 内的实数。

期望

对于一个随机变量 \(X\) ，假设其共有 \(x_1,x_2,x_3, \cdots \cdots x_i\) 等 \(i\) 种取值，且每种取值 \(x_j(j \in [1,i])\) 可表示成一个随机事件 \(X=x_j\) 出现的概率 \(P(X=x_j)=p_j\) ，则称随机变量 \(X\) 的数学期望为 \(E(x)=\sum_\limits{j \in [1,i]} p_j \times x_j\) 。期望的实际意义是某个随机变量所有取值与出现概率的乘积和。

期望的基本性质（重点）

期望是一个线性函数（不是积性！不是积性！！不是积性！！！），满足 \(E(a \times x+b \times y)=a \times E(x)+b \times E(y)\) 。也即和的期望等于期望的和。
这是在 \(OI\) 中期望计算的两大依据之一（另一大是期望的定义），也是用递推法计算期望的重要（甚至是决定性）根据。

牛刀小试

\(1.\) 绿豆蛙的归宿