【HDU4652】Dice（数学期望，动态规划）

题面

Vjudge
有一个\(m\)面骰子
询问，连续出现\(n\)个相同的时候停止的期望
连续出现\(n\)个不同的时候停止的期望

题解

考虑两种分开询问来算。

第一种：
设\(f[i]\)表示已经有连续的\(i\)个相同时，到达目标状态的期望。
\[f[i]=\frac{1}{m}f[i+1]+\frac{m-1}{m}f[1]+1\]
相邻两项作差，得到
\[m(f[i+1]-f[i])=f[i+2]-f[i+1]\]
按照顺序列出来
\(f[0]-f[1]=1\)
\(f[1]-f[2]=m\)
\(f[2]-f[3]=m^2\)
...
\(f[n-1]-f[n]=m^{n-1}\)
将所有式子相加起来
\(f[0]-f[n]=\frac{m^n-1}{1-m}\)
\(f[n]=0\)，这样就知道了\(f[0]\)
所以
\[Ans=f[0]=\frac{m^n-1}{1-m}\]

考虑第二种询问
设\(f[i]\)表示连续\(i\)个不同的数字，到达目标状态的期望
\[f[i]=\frac{m-i}{m}f[i+1]+\frac{f[1]+f[2]+f[3]+...f[i-1]+f[i]}{m}\]
还是相邻两项作差让后相加，算出答案
\[Ans=\sum_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{i}\frac{m}{m-j}\]

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
double Solve1(int m,int n){return (pow(m,n)-1.0)/(m-1.0);}
double Solve2(int m,int n)
{
    double ret=,d=;
    for(register int j=;j<n;++j)d=1.0*m/(m-j)*d,ret+=d;
    return ret;
}
int main()
{
    register int T,opt,n,m;
    while(scanf("%d",&T)!=EOF)while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d",&opt,&m,&n);
        printf("%.9lf\n",!opt?Solve1(m,n):Solve2(m,n));
    }
}