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M / M / 1系统

该系统的基本参数::

?

使用M / M / 1系统进行仿真非常简单 。 

lambda <- 2
mu <- 4
rho <- lambda/mu # = 2/4
..

例如， 可以快速可视化随时间变化的资源使用情况。在下面，我们可以看到仿真如何收敛到系统中理论上的平均客户数。

# Theoretical value
mm1.N <- rho/(1-rho)
graph + geom_hline(yintercept=mm1.N)

?

例如，还可以通过使用参数items和来可视化各个元素的瞬时steps。

?

我们可以获取系统中每个客户花费的时间，并将平均值与理论表达式进行比较。

## [1] 0.5

## [1] 0.5012594

看来它与理论值非常吻合。 

 并行化的缺点是，当每个线程完成时，我们会丢失基础的C ++对象 。让我们执行一个简单的测试：

library(dplyr)

t_system <- get_mon_arrivals(envs) %>%
  mutate(t_system = end_time - start_time) %>%
  group_by(replication) %>%
  summarise(mean = mean(t_system))

t.test(t_system$mean)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  t_system$mean
## t = 348.23, df = 999, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.4957328 0.5013516
## sample estimates:
## mean of x 
## 0.4985422

 最后，M / M / 1满足了系统中所用时间的分布，而该分布又是具有平均值的指数随机变量。

qqplot(mm1.t_system, rexp(length(mm1.t_system), 1/mm1.T))
abline(0, 1, lty=2, col="red")

 ?

M / M / c / k系统

M / M / c / k系统保持指数到达和服务时间，但通常具有不止一台服务器和有限的队列，这通常更现实。例如，路由器可能有多个处理器来处理数据包，而输入/输出队列必定是有限的。

这是M / M / 2/3系统（2个服务器，队列中1个位置）的模拟。 

lambda <- 2
mu <- 4

mm23.trajectory <- create_trajectory() %>%
...

在这种情况下，队列已满时会有拒绝。

##   rejection_rate
## 1     0.02009804

尽管如此，与M / M / 1情况一样，系统中花费的时间仍遵循指数随机变量，但平均值有所下降。

# Comparison with M/M/1 times
qqplot(mm1.t_system, mm23.t_system)
abline(0, 1, lty=2, col="red")

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