机器学习-逻辑回归

如果了解了线性回归，那么对于逻辑回归，基本上同理，只是具体上有些差别。

对于预测结果是0,和1这样的应用，我们有时也叫分类(classification).

如果我们使用线性回归来处理这样的问题，那么会发现效果不是很好，而且很容易受到干扰。

这里，NG使用了“肿瘤预测”的案例来说明问题。

上图是使用线性回归来解决这个问题，我们很明显可以从中间划一条线来分割，左边的就是良性，右边的是恶性。也就是有个明显的肿瘤大小值来划分。这样似乎问题得到解决。假设又来一个数据。

这时，拟合的直线向右倾斜了，这样导致原本属于应该判定为恶性的肿瘤变成良性了。

实际上，这个新的数据，并未提供任何新的信息。

分析问题，那就是我们期望的结果是1或者0，但是线性回归给我们的假想函数h通常都是大于1或者小于0的，如果我们的假想函数h是 0 <=hθ(x)<=1, 那么对于分类问题，就可以使用概率来预测0或者1了。

这里找到的是一个神奇的函数，

很形象，s型的函数，这个函数表达的，也就是结果为1的一个可能的概率。

可以用概率 表示 h(x)=P(y=1|x;θ), 意思就是 给定x，参数θ，y=1的概率

这里如果是y=0的，那么就是1-P(y=1|x;θ),他们加起来应该是1

找到了假想函数，那么我们还是寻找cost 函数。如果按照线性回归，我们可能得出以下公式

但是……我们画出的J(θ) 图像显示，如果在逻辑回归中使用一上cost function，那么我们得到的图像如下：

 

 NG老师说的non-convex，意思就不是凸型的，这样的问题是，使用梯度下降很难找到全局的最优解。

所以，这个J(θ)不能使用线性回归的这种方法。

那么应该使用什么方式呢？

这里我们可以这样考虑，如果实际情况与假想函数预测的相反，那么cost function的值应该是很大的。

反之，如果实际情况和预测函数一致，那么我们可以认为cost function的值为0

这时，我们可能就想到log函数了。

 我们看 -logx的情况 如上图中的蓝线。横坐标我们看做hθ(x),那么如果y=1，并且hθ(x)=1,这时候的J(θ)=0

说明预测与实际吻合，所以cost函数值为0.

有了思路，那么同理，我们分析 -log(1-hθ(x))

 也就是在假想函数和实际情况吻合（y=-0,并且 hθ(x)=0）那么J(θ)也是0

相反，如果假想函数趋向1，而实际情况是y=0，那么，J(θ) 也趋向无穷大，这就是我们想要的cost function

 这里做了同意。我们的J(θ)也就完成了。

接下来是梯度下降算法：

 这里NG老师直接给出了公式，我们发现和线性回归简直一模一样，但是NG 老师说，hθ(x)函数不一样了，所以是不同的。如果我们学过微积分，可以试着通过对 θ求导 α 后的那一串。

 好了。到这里，基本上逻辑回归就告一段落了。我们可以试着实现一个自己的逻辑回归。

当然，还有一些内容下次补充。