读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 混合的策略

混合的策略

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

策略，信念和期望收益

• 混合策略
  玩家i的有限纯策略集合\(S_i = {s_{i1}, s_{i2}, \cdots, s_{im}}\)。
  将\(\Delta S_i\)定义为\(S_i\)的单纯形，是在\(S_i\)上所有概率分布的集合。
  玩家i的一个混合策略(mixed strategy)是\(\sigma_i \in \Delta S_i\)，
  \[\sigma_i = (\sigma_i(s_{i1}), \sigma_i(s_{i2}), \cdots, \sigma_i(s_{im})) \\where \\\sigma_i(s_{i}) \text{ : the probability that player i plays s_{i}}\]

两个明显的条件:
\[\sigma_i(s_{i}) \geq 0, \forall s_i \in S_i \\\sum_{s_i \in S_i} \sigma_i(s_{i}) = 1\]

• \(\Delta S_i\)的例子：(rock-paper-scissor)
  \(\Delta S_i\) = {(\sigma_i(R), \sigma_i(P), \sigma_i(S)) : \sigma_i(R), \sigma_i(P), \sigma_i(S) \geq 0, \sigma_i(R) + \sigma_i(P) + \sigma_i(S) = 1}$
  表示所有\((\sigma_i(R), \sigma_i(P), \sigma_i(S))\)对，使得每个值都大于等于0，并且每个值的和为1。

• \(\sigma(\dot)\)支持策略\(s_i\)(\(s_i\) is in the support of \(\sigma(\dot)\))
  给定一个玩家i的混合策略\(\sigma(\dot)\)，如果\(\sigma(s_i) > 0\)，则称\(\sigma(\dot)\)支持纯策略\(s_i\)。

• 连续策略集的混合策略
  玩家i的纯策略集合\(S_i\)是一个值区间，则玩家i的一个混合策略是累积分布函数\(F_i : S_i \to [0, 1], \ where \ F_i(x) = Pr{s_i < x>}\)。
  如果\(F_i(\dot)\)在密度\(f_i(\dot)\)上可微分，并且\(f_i(\dot) > 0\)，则称\(F_i(\dot)\)支持纯策略\(s_i\)。

• 信念(belief)
  信念\(\pi_i \in \Delta S_{-i}\)代表玩家i认为对手采用\(s_{-i} \in S_{-i}\)的概率。

• 期望收益(Expected Payoffs)
  玩家i选择策略\(s_i \in S_i\)，并且对手选择混合策略\(\sigma_{-i} \ \Delta_{-i}\)，的期望收益:
  \[v_i(s_i, \sigma_{-i}) = \sum_{s_{-i} \in S_{-i}} \sigma_{-i}(s_{-i}) v_i(s_i, s_{-i})\]
  玩家i选择混合策略\(\sigma_i \in \Delta S_i\)，并且对手选择混合策略\(\sigma_{-i} \ \Delta_{-i}\)，的期望收益:
  \[v_i(\sigma_i, \sigma_{-i}) = \sum_{s_{i} \in S_{i}} \sigma_{i}(s_{i}) v_i(s_i, s_{-i}) = \sum_{s_i \in S_i} ( \sum_{s_{-i} \in S_{-i}} \sigma_{i}(s_{i}) \sigma_{-i}(s_{i-}) v_i(s_i, s_{-i}) )\]

• 混合策略的纳什均衡
  混合策略组合\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \sigma_2^*, \cdots, \sigma_n^*)\)是一个纳什策略，如果对于每个玩家\(\sigma_i^*\)都是最佳响应。
  \[v_i(\sigma_i^*, \sigma_{-i}^*) \geq v_i(\sigma_i, \sigma_{-i}^*), \ \forall \sigma_i \in \Delta S_i\]

推论 6.1

如果\(\sigma^*\)是一个纳什博弈，并且\(\sigma^*支持\)s_i\(和\)s'_i$,则
\(v_i(s_i, \sigma_{-i}^*) = v_i(s'_i, \sigma_{-i}^*) = v_i(\sigma^*, \sigma_{-i}^*)\)

Rock-Paper-Scissor

断言 6.1:

如果一个玩家选择纯策略，另一个玩家选择混合策略，则不存在纳什均衡。

断言 6.2:

如果至少有一个玩家选择只有两个纯策略的混合策略，则不存在纳什均衡。

严格劣势策略的迭代消除和可合理化(IESDS and Rationalizability)

• 严格劣势
  \(s'_i \in S_i\)严格劣势于\(\sigma_i \in \Delta S_i\)，如果满足条件：
  \[v_i(\sigma_i, s_{-i}) > v_i(s'_i, s_{-i}), \ \forall s_{-i} \in S_{-i} \\\]

• 不可能是一个最佳响应
  对于玩家i的混合策略\(\sigma_i \in \Delta S_i\)，这个混合策略作为最佳响应的对手混合策略\(\sigma_i \in BR_i(\sigma_{-1})\)，如果对手的任何混合策略\(\sigma_{-1} \in \Delta S_{-i}\)都不在玩家i的信念中，则\(\sigma_i \in \Delta S_i\)不可能是一个最佳响应。

断言

一个劣势混合策略\(sigma_i\)不可能是一个最佳响应。

推论 6.2

任何两人博弈中，策略\(sigma_i\)是一个严格劣势纯策略，当且仅当策略\(sigma_i\)不可能是一个最佳响应。

纳什存在定理

纳什存在定理(Nash's existence Theorem)

任何普通形式、具有限策略集合的博弈存在一个纳什均衡的混合策略。
纳什存在定理的证明用到了不动点定理。

布劳威尔不动点定理(Brouwer's Fixed-Point Theorem)

如果f(x)是一个连续函数从域[0, 1]到[0, 1]\(f:[0, 1] \to [0, 1]\),则存在至少一个点\(f(x^*) = x^*, x^* \in [0, 1]\)。
证明过程简介：连续函数f(x)一定和函数\(f_1(x) = x\)至少有一个交点。

• 最佳响应对应(collection of best response correspondence)
  最佳响应对应集合\(BR \equiv BR_1 \times BR_2 \times \cdots \times BR_n\)，映射$\Delta S \equiv \Delta S_1 \times \Delta S_2 \times \cdots \times \Delta S_n $ 到自身。
  也就是说：\(BR : \Delta S \rightrightarrows \Delta S\), \(BR(\sigma) \subset \Delta S, \ for \ \sigma \in \Delta S\)

角谷不动点定理(Kakutani Fixed-Point Theorem)

一个对应\(C: X \rightrightarrows X\)有一个不动点，如果以下四个条件都满足：

1. X是非空的，紧凑的，\(\mathbb{R}^n\)的凸子集
2. C(x)对于所有的x都非空。
3. C(x)对于所有的x都是凸的。
4. C有一个闭合图。

• 凸的(convex)
  集合\(X \subseteq \mathbb{R}^n\)是凸的，如果集合X中任何两点的连线上的点都在集合X中。
• 闭合的(closed)
  集合\(X \subseteq \mathbb{R}^n\)是闭合的，如果集合X边缘点在集合X中。(0, 1]是非闭合的，[0, 1]是闭合的。
• 紧凑的(compact)
  集合\(X \subseteq \mathbb{R}^n\)是紧凑的，如果集合X是闭合并且有界。[0, 1]是紧凑的，\([0, &infin;]\)是非紧凑的。
• 闭合图(closed graph)
  图\(C: X \rightrightarrows X\)是闭合图, 如果C是闭合的。

参照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
• 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间
• 读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 理性和公共知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 05 - 理性和公共知识