主成分分析推导

前言

在数据分析中，有些特征可能是冗余的，即使不是冗余的也可以通过特征的变换，构造更好且更少的一组特征来描述数据的性质。

主成分分析原理

可以把一个具有n个特征的记录视为一个高维空间上的向量，它每个特征上的取值视为在该维度下的坐标。众多的点形成点集。同样可以找到另外一个基（n个单位基向量），由它们来表示数据。这样数据在新的基下某些维度值为固定值，或者变化很小。我们就可以把这些维度舍去，把记录在新的基里其他维度的取值，作为他们新的特征。

推导

书上有详细的推导，但有些地方过于简略，稍作补充便于理解

定义和假设

1. 所有的向量默认均为列向量
2. 原始数据有N个特征，每个纪录表示为一个向量\(x = (x_1,x_2,..,x_N)^T\)
3. 一组基向量为\(T_1, T_2, ...,T_N\),它们大小为1，互相正交.设\(T=(T_1,T_2,...,T_N)\)
4. 每个纪录在新的基下表示为 $y = (y_1,y_2,...,y_N) $
5. 相关矩阵为\(R_x=E[x*x^T]\)

推导过程

1. \(y和x的关系\)

   \[\because由基向量定义得T_i*T_j = \begin{cases}1,i=j\\0,i\neq j\end{cases}\]

   \[\therefore T*T^T = I,T^{-1}=T^T\]

   \[\because y=T^Tx\therefore y_i = T_i^Tx = x^TT_i\]

   \[\therefore x = Ty = \Sigma_{i=1}^N{y_iT_i}\]

2. 只取y的前M项特征，计算误差

   \[\begin{aligned}令\hat{x} &= \Sigma_{i=1}^my_iT_i\\均方误差为e &= E[(x- \hat{x})^T(x-\hat{x})]\\&=E[（\Sigma_{i=M+1}^Ny_iT_i)^T*\Sigma_{i=M+1}^Ny_iT_i]\\&=E[\Sigma_{i=M+1}^Ny_i^2] = \Sigma_{i=M+1}^NE[y_i^2] ,&\text{由1式得}\\&=\Sigma_{i=M+1}^NE[T_i^Tx*x^TT_i], &\text{由3式得}\\&=\Sigma_{i=M+1}^NT_i^TR_xT_i\end{aligned}\]

3. 使得误差最小

   设\(T_i\)为变元，因为他们受1式条件限制是个条件极值。所以不能直接求偏导，而是要用拉格朗日乘数法，(具体请看高数)
   \[设L(x)=\Sigma_{i=M+1}^NT_i^TR_xT_i+\Sigma_{i=M+1}^N\lambda_i(T_i^TT_i-1), (不应该还有N*(N-1)/2个有正交条件吗？)\\\therefore 当\partial L/\partial T_i = 0,且T_I满足1式条件时取极值\\\because \partial L/\partial T_i = 2(R_x-\lambda_i)T_i = 0,时有极值\\\therefore T_i 为R_x特征矢量，\lambda_i为特征值\\\therefore e = \Sigma_{i=M+1}^NT_i^T\lambda_iT_i = \Sigma_{i=M+1}^N\lambda_i\]

4. 特征提取方法

   1. 计算出\(R_x\)
   2. 找到\(R_x\)的特征向量和对应的特征值,并按特征值从大到小排序\(\{(T_1,\lambda_1),...(T_n,\lambda_n)\}\)
   3. 利用前M个向量构造变换矩阵\(T=(T_1,T_2,..T_m)\)
   4. 求得\(y=T^Tx\)