连接问题Connectivity problem

任意两点是否连接在一起？
更抽象一点为

• 网络中节点间的连接状态

  • 网络是个抽象的概念：用户之间形成的网络(facebook中两个人是否认识)
• 数学中的集合类实现

与路径问题的区别
连接问题比路径问题要回答的问题少

并查集的实现

对于一组数据，主要支持两个动作

• union(p, q)
• find(p)

用来回答一个问题

• isConnected(p, q)

并查集的基本数据表示

quickFind版本，查找的速度非常快，但是并的速度并不快

public class UnionFind {
    private int[] id;
    private int count;

    public UnionFind(int n) {
        count = n;
        id = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            id[i] = i;
        }
    }

    public int find(int p) {
        assert (p >= 0 && p < count);
        return id[p];
    }

    public void union(int p, int q) {
        int pId = id[p];
        int qId = id[q];

        if (pId == qId) {
            return;
        }

        for (int i = 0; i < count; i++) {
            if (id[i] == pId) {
                id[i] = qId;
            }
        }
    }
}

quickUnion版本
思想：将每一个元素，看做是一个节点，包含一个指针，指向自己的父亲，表示两者是连接在一起的。根结点指向自己。
查的效率与树的高度有关，并的效率极大优化

public class QuickUnion {
    private int[] parent;
    private int count;

    public QuickUnion(int count) {
        parent = new int[count];
        this.count = count;
        for (int i = 0; i < count; i++) {
            parent[i] = i;
        }
    }

    public int find(int p) {
        assert (p >= 0 && p < count);

        while (p != parent[p]) {
            p = parent[p];
        }
        return p;
    }

    public boolean isConnected(int p, int q) {
        return find(p) == find(q);
    }

    public void union(int p, int q) {
        int pRoot = find(p);
        int qRoot = find(q);

        if (pRoot == qRoot) {
            return;
        }

        parent[pRoot] = qRoot;
    }
}

并查集的优化

初步优化

因为并查集的性能与树的高度有关，因此一个优化方向就是在并的过程中移动更小高度的树，代码如下

public class BetterUF {
    private int[] parent;
    private int count;
    private int[] size;

    public QuickUnion(int count) {
        parent = new int[count];
        size = new int[count];
        this.count = count;
        for (int i = 0; i < count; i++) {
            parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }

    public int find(int p) {
        assert (p >= 0 && p < count);

        while (p != parent[p]) {
            p = parent[p];
        }
        return p;
    }

    public boolean isConnected(int p, int q) {
        return find(p) == find(q);
    }

    public void union(int p, int q) {
        int pRoot = find(p);
        int qRoot = find(q);

        if (pRoot == qRoot) {
            return;
        }
        if (size[pRoot] < size[qRoot]) {
            parent[pRoot] = qRoot;
            size[qRoot] += size[pRoot];
        } else {
            parent[qRoot] = pRoot;
            size[pRoot] += size[qRoot];
        }
    }
}

基于rank的优化

单纯以节点数量进行优化依旧不够准确，更好的方式是基于树的高度进行优化，即基于rank的优化

public class RankUF {
    private int[] parent;
    private int count;
    private int[] rank;

    public QuickUnion(int count) {
        parent = new int[count];
        rank = new int[count];
        this.count = count;
        for (int i = 0; i < count; i++) {
            parent[i] = i;
            rank[i] = 1;
        }
    }

    public int find(int p) {
        assert (p >= 0 && p < count);

        while (p != parent[p]) {
            p = parent[p];
        }
        return p;
    }

    public boolean isConnected(int p, int q) {
        return find(p) == find(q);
    }

    public void union(int p, int q) {
        int pRoot = find(p);
        int qRoot = find(q);

        if (pRoot == qRoot) {
            return;
        }
        if (rank[pRoot] < rank[qRoot]) {
            parent[pRoot] = qRoot;
        } else if (rank[qRoot] < rank[pRoot]) {
            parent[qRoot] = pRoot;
        } else {
            parent[pRoot] = qRoot;
            rank[qRoot] += 1;
        }
    }
}

路径的压缩

修改代码

public int find(int p) {
        assert (p >= 0 && p < count);

        while (p != parent[p]) {
            parent[p] = parent[parent[p]];//增加一行
            p = parent[p];
        }
        return p;
    }

第二种路径压缩 ，压缩到底！

public int find(int p) {
    assert(p >= 0 && p < count);
    if (p != parent[p]) {
        parent[p] = find(parent[p]);
    }
    return parent[p];
}

经过路径压缩后，并查集的操作，时间复杂度近乎是O(1)的