python素数筛选法浅析

原理：

素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。在加密应用中起重要的位置，比如广为人知的RSA算法中，就是基于大整数的因式分解难题，寻找两个超大的素数然后相乘作为密钥的。一个比较常见的求素数的办法是埃拉托斯特尼筛法(the Sieve of Eratosthenes) ，说简单一点就是画表格，然后删表格，如图所示：

从2开始依次往后面数，如果当前数字一个素数，那么就将所有其倍数的数从表中删除或者标记，然后最终得到所有的素数。

有一个优化：

标记2和3的倍数的时候，6被标记了两次。所以从i的平方开始标记，减少很多时间。

比如3的倍数从9开始标记，而不是6，并且每次加6。

除了2以外，所有素数都是奇数。奇数的平方还是奇数，如果再加上奇数就变成了偶数一定不会是素数，所以加偶数(2倍素数)。

预先处理了所有偶数。

注意：1既不是素数也不是合数，这里没有处理1。

#! prime.py 
import time 
 
def primes(n): 
 P = [] 
 f = [] 
 for i in range(n+1): 
  if i > 2 and i%2 == 0: 
   f.append(1) 
  else: 
   f.append(0) 
 
 i = 3 
 while i*i <= n: 
  if f[i] == 0: 
   j = i*i 
   while j <= n: 
    f[j] = 1 
    j += i+i 
  i += 2 
 
 P.append(2) 
 for i in range(3,n,2): 
  if f[i] == 0: 
   P.append(i) 
 
 return P 
 
def isPrime(n): 
 if n > 2 and n%2 == 0: 
  return 0 
 
 i = 3 
 while i*i <= n: 
  if n%i == 0: 
   return 0 
  i += 2 
 
 return 1 
 
def primeCnt(n): 
 cnt = 0 
 for i in range(2,n): 
  if isPrime(i): 
   cnt += 1 
 return cnt 
 
if __name__ == '__main__': 
 start = time.clock() 
 n = 10000000 
 P = primes(n); 
 print("There are %d primes less than %d"%(len(P),n)) 
 #for i in range(10): 
 # print(P[i]) 
 print("Time: %f"%(time.clock()-start)) 
 #for n in range(2,100000): 
 # if isPrime(n): 
 #  print("%d is prime"%n) 
  #print("%d is "%n + ("prime" if isPrime(n) else "not prime")) 
 
 start = time.clock() 
 n = 1000000 
 print("There are %d primes less than %d"%(primeCnt(n),n)) 
 print("Time: %f"%(time.clock()-start)

用素数筛选法求1千万以内的素数用了5.767s，

普通素数判断法求1百万以内的素数用了9.642s，

用C++素数筛选法求1亿以内的素数用了0.948s，

用C++普通素数判断法求1千万以内的素数用了3.965s，

可见解释语言确实比编译语言慢很多。

附C++程序，用了位压缩优化空间

#include <iostream> 
#include <cstdio> 
#include <algorithm> 
using namespace std; 
#define N 100000001 
 
unsigned f[(N>>5)+5]; 
int p[5761456],m; 
void init() 
{ 
  int i,j; 
  for(i=4;i<N;i+=2) 
    f[i>>5]|=1<<(i&0x1F); 
  p[m++]=2; 
  for(i=3;i*i<N;i+=2) 
    if(!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F)))) 
    { 
      p[m++]=i; 
      for(j=i*i;j<N;j+=i+i) 
        f[j>>5]|=1<<(j&0x1F); 
    } 
  for(;i<N;i+=2) 
    if(!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F)))) 
      p[m++]=i; 
} 
int is_prime(int n) 
{ 
  int i; 
  for(i=0;p[i]*p[i]<=n;i++) 
    if(n%p[i]==0) 
      return 0; 
  return 1; 
} 
int isPrime(int n) 
{ 
  if(n>2 && n%2==0) 
    return 0; 
  int i=3; 
  while(i*i<=n) 
  { 
    if(n%i==0) 
      return 0; 
    i+=2; 
  } 
  return 1; 
} 
int main() 
{ 
  int n=0,i; 
  clock_t st=clock(); 
  init(); 
  /*for(i=2;i<10000000;i++) 
    if(isPrime(i)) 
      n++;*/ 
  printf("%d %dms\n",m,clock()-st); 
  /*while(~scanf("%d",&n),n) 
  { 
    i=lower_bound(p,p+m,n+1)-p; 
    printf("%d\n",i); 
  }*/ 
  return 0; 
}