FCM算法

1.模糊理论概述：

在我们的日常生活中有许多的事物，或多或少都具有模糊性和混淆不清的特性。“模模糊糊”的概念，是最微妙且难以捉摸，但却又是常見最重要的，但在近代数学中却有了很清晰的定义。 模糊理论的观念在强调以模糊逻辑来描述现实生活中事物的等級，以弥补古典逻辑(二值逻辑)无法对不明确定义边界事物描述的缺点。人类的自然語言在表达上具有很重的模糊性，难以“对或不对”、“好或不好”的二分法来完全描述真实的世界问题。故模糊理论将模糊概念，以模糊集合的定义，将事件(event)属于这集合程度的归属函数(Membership grade),加以模糊定量化得到一归属度(Membership grade)， 来处理各种问题。随着科学的发展，研究对象越加复杂，而复杂的东西难以精确化，这是一一个突出的矛盾，也就是说复杂性越高，有意义的精确化能力越低，有意义性和精确性就变成两个互相排斥的特性。而复杂性却意味着因素众多，以致使我们无法全部认真地去进行考察，而只抓住其中重要的部分，略去次要部分，但这有时会使本身明确的概念也会变得模糊起来，从而不得不采用“模糊的描述”

2模糊聚类：

事物间的界线，有些是明确的，有些则是模糊的。当聚类涉及到事物之间的模糊界线时，需要运用模糊聚类分析方法。
如何理解模糊聚类的“模糊”呢：假设有两个集合分别是A、B，有一成员a，传统的分类概念a要么属于A要么属于B，在模糊聚类的概念中a可以0.3属于A，0.7属于B，这就是其中的“模糊”概念。

模糊聚类分析有两种基本方法：系统聚类法和逐步聚类法。

系统聚类法个人理解类似于密度聚类算法，逐步聚类法类是中心点聚类法。 

逐步聚类法是一种基于模糊划分的模糊聚类分析法。它是预先确定好待分类的样本应分成几类，然后按照最优原则进行在分类，经多次迭代直到分类比较合理为止。在分类过程中可认为某个样本以某一隶属度隶属某一类，又以某一隶属度隶属于另一类。这样，样本就不是明确的属于或不属于某一类。若样本集有n个样本要分成c类，则他的模糊划分矩阵为c×n。
该矩阵有如下特性：
①. 每一样本属于各类的隶属度之和为1。
②. 每一类模糊子集都不是空集。

3.FCM算法

3.1原理：

假定我们有数据集X，我们要对X中的数据进行分类，如果把这些数据划分成c个类的话，那么对应的就有c个类中心为Ci，每个样本Xj属于某一类Ci的隶属度定为Uij，那么定义一个FCM目标函数及其约束条件如下：

目标函数(式1)由相应样本的隶属度与该样本到各类中心的距离相乘组成的，式2为约束条件，也就是一个样本属于所有类的隶属度之和要为 1 。
式1中的m是一个隶属度的因子，一般为2 ，||Xj - Ci|| 表示Xj到中心点Ci的欧式距离。

我们发现Uij和Ci是相互关联的，彼此包含对方 ，程序一开始 会随机生成一个Uij，只要数值满足条件即可，然后开始迭代，通过Uij计算出Ci，有了Ci又可以计算出Uij，反反复复，这个过程中目标函数J一直在变化，逐渐绉向稳定。那么当J不在变化时就认为算法收敛到一个较好的结果了。

3.2步骤：

（1）确定分类数，指数m的值，确定迭代次数 
（2）初始化一个隶属度U（注意条件和为1）；
（3）根据U计算聚类中心C；
（4）这个时候可以计算目标函数J了
（5）根据C返回去计算U，回到步骤3，一直循环直到结束。

举栗子：

https://blog.csdn.net/in_nocence/article/details/78647305

大家可以参考一下

4.K-means算法和FCM均值的区别：

K-means算法：一种硬聚类算法，隶属度只有两个取值0或1，提出的基本根据是“类内误差平方和最小化”准则；
FCM算法：一种模糊聚类算法，是k均值聚类算法的推广形式，隶属度取值为[0 1]区间内的任何一个数，提出的基本根据是“类内加权误差平方和最小化”准则；
这两个方法都是迭代求取最终的聚类划分，即聚类中心与隶属度值。两者都不能保证找到问题的最优解，都有可能收敛到局部极值，模糊c均值甚至可能是鞍点。
K均值和C均值，其实有种C是包含在K中的感觉，C只是特定的实现方式，K均值是广义的概念。

5.实际应用：

煤炭为工业时代注入力量，即使到了发达的21世纪，我们的生活还是离不开煤炭，煤炭的种类也有很多，那如何将其分类呢？

通过查询资料可知煤炭可以分为三类：无烟煤A1，烟煤A2，褐煤A3。设论域U为所有煤种的集合，则无烟煤A1,烟煤A2,和褐煤A3;是U上的模糊子集，  对于某一种给定的具体煤种u,试判断u的归属问题。

（1）煤的特性指标

根据煤的化学成分和煤炭变量分析，我们选择下列10个特性指标:炭(u)，氢(u2), 全硫(u3)， 氧(u4),镜质分析(u5),丝质分析(u6)， 块状微粒体(u7),粒状微粒(u8)，壳质体与树脂体(u9),由镜质组分测得的平均最大反射率(u10 ).因而每种煤的特性指标向量为u=(u1, u2,...... ,u10)

(2) 构造无烟煤A1,烟煤A 2和褐煤A 3的隶属函数。

   1)在无烟煤A1中抽选6个煤样: 
       ai=(ai1, ai2,..... ai10) (i=1,2...,6),
其中aij表示A1中第i个煤样的第j个特性指标的实际测试数据

      在无烟煤A2中抽选12个煤样: 
       bi=(bi1, bi2,..... bi10) (i=1,2...,12),
其中bij表示A2中第i个煤样的第j个特性指标的实际测试数据

       在无烟煤A3中抽选6个煤样: 
       ci=(ci1, ci2,..... ci10) (i=1,2...,6),
其中cij表示A3中第i个煤样的第j个特性指标的实际测试数据

   2)计算所抽选的煤样ai,bi,ci的平均值

   3)分别计算待识别煤样u= {u1, u2，.... ，u10}与a,b,c之间的欧拉距离得：

   令D=d1(u, a)+d2(u, b)+d3(u,c),则可得无烟煤A1，烟煤A2和褐煤A3的隶属函数是:

        A1(u)=1-d1(u, a)/D,   A2(u)=1-d2(u, b)/D,     A3(u)=1-d3(u, c)/D,

     把煤样数据代入.上述式子得出个煤样对无烟煤A1,烟煤A2和褐煤A3的隶属度.

(3)按照最大隶属原则判断具体煤样所应归属的煤炭类别.

数据部分样本：

(4)matlab实现：

源代码：

myfcm.m

function [U, V,objFcn] = myfcm(data, c, T, m, epsm)
% fuzzy c-means algorithm
% 输入： data： 待聚类数据，n行s列，n为数据个数，s为每个数据的特征数
%        c  ：  聚类中心个数
%        m  :   模糊系数
% 输出： U  :   隶属度矩阵，c行n列，元素uij表示第j个数据隶属于第i类的程度
%        V  ：  聚类中心向量，c行s列，有c个中心，每个中心有s维特征
% written by Zhang Jin
% see also  :  mydist.m  myplot.m

if nargin < 3
    T = 100;   %默认迭代次数为100
end
if nargin < 5
    epsm = 1.0e-6;  %默认收敛精度
end
if nargin < 4
    m = 2;   %默认模糊系数值为2
end

[n, s] = size(data);
% 初始化隶属度矩阵U(0),并归一化
U0 = rand(c, n);
temp = sum(U0,1);
for i=1:n
    U0(:,i) = U0(:,i)./temp(i);
end
iter = 0;
V(c,s) = 0; U(c,n) = 0; distance(c,n) = 0;

while( iter<T  )
    iter = iter + 1;
%    U =  U0;
    % 更新V(t)
    Um = U0.^m;
    V = Um*data./(sum(Um,2)*ones(1,s));   % 矩阵相乘  
    % 更新U(t)
    for i = 1:c
        for j = 1:n
            distance(i,j) = mydist(data(j,:),V(i,:));
        end
    end
    U=1./(distance.^m.*(ones(c,1)*sum(distance.^(-m))));
    objFcn(iter) = sum(sum(Um.*distance.^2));
    % FCM算法停止条件
    if norm(U-U0,Inf)<epsm  
        break
    end  
    U0=U;
end
myplot(U,objFcn);

距离函数：

function  d = mydist(X,Y)  

 d = sqrt(sum((X-Y).^2));

end

myplot.m

function myplot(U,objFcn)
% 将隶属度U矩阵可视化

figure(1)
subplot(3,1,1);
plot(U(1,:),‘-b‘);
title(‘隶属度矩阵值‘)
ylabel(‘A1‘)
subplot(3,1,2);
plot(U(2,:),‘-r‘);
ylabel(‘A2‘)
subplot(3,1,3);
plot(U(3,:),‘-g‘);
xlabel(‘样本数‘)
ylabel(‘A3‘)
figure(2)
grid on
plot(objFcn);
title(‘目标函数变化值‘);
xlabel(‘迭代次数‘)
ylabel(‘目标函数值‘)

结果：

由于数据收集样本容量过小，且电脑安装的matlab版本有些问题尝试多次无法运行，之后会重新更新软件用更多数据测试

但可推测迭代多次之后，目标函数开始收敛，从隶属度矩阵上分析 ，三类煤有明显的区分 。猜测不断迭代后区分度会有所降低。

6.结论：

FCM算法的优缺点：

 优点：FCM方法会计算每个样本对所有类的隶属度，这给了我们一个参考该样本分类结果可靠性的计算方法， 若某样本对某类的隶属度在所有类的隶属度中具有绝对优势，则该样本分到这个类是一个十分保险的做法，反之若该样本在所有类的隶属度相对平均，则我们需要其他辅助手段来进行分类。

  缺点：算法在分类时有个主要的不足是，当样本不平衡时，如一个类的样本容量很大，而其他类样本容量很小时，有可能导致当输入一个新样本时，该样本的K个邻居中大容量类的样本占多数。 该算法只计算“最近的”邻居样本，某一类的样本数量很大，那么或者这类样本并不接近目标样本，或者这类样本很靠近目标样本。无论怎样，数量并不能影响运行结果。

参考文献：

https://blog.csdn.net/HUXINY/article/details/90607216