一、跳表介绍

• 二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性，所以只能用数组来实现。如果数据存储在链表中，能否用二分查找算法？
• 实际上，只需要对链表稍加改造，就可以支持类似“二分”的查找算法。
• 改造之后的数据结构叫作跳表（Skip list）。
• 跳表是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构，可以支持快速的插入、删除、查找操作。
• Redis 中的有序集合（Sorted Set）中就用到了跳表。

1.1、跳表的原理

• 对于一个单链表来讲，即便链表中存储的数据是有序的，如果我们要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度会
  很高，是O(n)。

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• 如下图所示对链表建立一级“索引”，每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫作索引或索引层。图中的 down 表示 down 指针，指向下一级结点。

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• 如果要查找某个结点，比如 16。我们可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为 13 的结点时，发现下一个结点是17，那要查找的结点16肯定就在这两个结点之间。

• 然后通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。

• 此时，只需要再遍历 2 个结点，就可以找到值等于16的这个结点了。

• 这样，原来如果要查找16，需要遍历10个结点，现在只需要遍历7个结点。

• 从这个例子里，我们看出，加了一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。

再来看一个例子：

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• 上图是一个包含64个结点的链表，按照前面讲的这种思路，每两个结点抽出一个结点作为上一级索引的结点，建立了五级索引。

• 从图中可以看出，原来没有索引的时候，查找 62 需要遍历 62 个结点，现在只需要遍历 11 个结点，速度提高了很多。

• 所以，当链表的长度 n 比较大时，比如1000、 10000的时候，在构建索引之后，查找效率的提升就会非常明显。

• 链表加多级索引的结构，就是跳表。通过上面的例子展示了跳表是如何减少查询次数的，所以跳表确实是可以提高查询效率的。

1.2、跳表的时间复杂度

• 先来考虑：如果链表里有 n 个结点，会有多少级索引？

  • 每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点。
  • 那第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2， 那第 k 级索引结点的个数就是 n/(2^k)。
  • 假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n / (2^h) = 2，从而求得 h = log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是 log2n。

• 在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。

• 按照前面这种索引结构，每一级索引都最多只需要遍历3个结点，也就是说 m=3，原因如下：

  • 假设我们要查找的数据是 x，在第 k 级索引中，我们遍历到 y 结点之后，发现 x 大于 y，小于后面的结点 z，所以我们通过 y 的 down 指针，从第 k 级索引下降到第 k-1 级索
    引。
  • 在第 k-1 级索引中，y 和 z 之间只有3个结点（包含 y 和 z ），所以，我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。
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• 因为 m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)。

• 这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。其实是基于单链表实现了二分查找。

• 不过这种查询效率的提升，前提是建立了很多级索引，是空间换时间的设计思路。

1.3、跳表的空间复杂度

• 比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。

• 假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4个 结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下2个结点。

• 如果把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。

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• 这几级索引的结点总和就是 n/2 + n/4 + n/8… + 8 + 4 + 2 = n-2。

• 所以，跳表的空间复杂度是 O(n)。

• 也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。

• 实际上，在软件开发中，不必太在意索引占用的额外空间。

• 在学习数据结构和算法时，习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。

二、在跳表中插入、删除元素

跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作。而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。

2.1、插入 & 删除

• 在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是 O(1)。

• 这里为了保证原始链表中数据的有序性，需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时。

• 对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。

• 对于跳表来说，查找某个结点的的时间复杂度是 O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是 O(logn)。

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• 删除的原理和插入差不多，都是先查找，在操作具体的节点。

• 如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。

• 因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。当然，如果用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了。

2.2、跳表索引动态更新

• 当不停地往跳表中插入数据时，如果不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。

• 极端情况下，跳表还会退化成单链表。

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• 作为一种动态数据结构，需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降。

• 跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”。

• 当往跳表中插入数据的时候，可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。

• 通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

• 随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。

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三、总结一下