六、跳表 - Skip list

nurvnurv 2020-06-07

一、跳表介绍

  • 二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性,所以只能用数组来实现。如果数据存储在链表中,能否用二分查找算法?
  • 实际上,只需要对链表稍加改造,就可以支持类似“二分”的查找算法。
  • 改造之后的数据结构叫作跳表(Skip list)。
  • 跳表是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构,可以支持快速的插入、删除、查找操作。
  • Redis 中的有序集合(Sorted Set)中就用到了跳表。

1.1、跳表的原理

  • 对于一个单链表来讲,即便链表中存储的数据是有序的,如果我们要想在其中查找某个数据,也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低,时间复杂度会
    很高,是O(n)。

    • 六、跳表 - Skip list
  • 如下图所示对链表建立一级“索引”,每两个结点提取一个结点到上一级,我们把抽出来的那一级叫作索引或索引层。图中的 down 表示 down 指针,指向下一级结点。

    • 六、跳表 - Skip list
  • 如果要查找某个结点,比如 16。我们可以先在索引层遍历,当遍历到索引层中值为 13 的结点时,发现下一个结点是17,那要查找的结点16肯定就在这两个结点之间。

  • 然后通过索引层结点的 down 指针,下降到原始链表这一层,继续遍历。

  • 此时,只需要再遍历 2 个结点,就可以找到值等于16的这个结点了。

  • 这样,原来如果要查找16,需要遍历10个结点,现在只需要遍历7个结点。

  • 从这个例子里,我们看出,加了一层索引之后,查找一个结点需要遍历的结点个数减少了,也就是说查找效率提高了。

再来看一个例子:

  • 六、跳表 - Skip list
  • 上图是一个包含64个结点的链表,按照前面讲的这种思路,每两个结点抽出一个结点作为上一级索引的结点,建立了五级索引。

  • 从图中可以看出,原来没有索引的时候,查找 62 需要遍历 62 个结点,现在只需要遍历 11 个结点,速度提高了很多。

  • 所以,当链表的长度 n 比较大时,比如1000、 10000的时候,在构建索引之后,查找效率的提升就会非常明显。

  • 链表加多级索引的结构,就是跳表。通过上面的例子展示了跳表是如何减少查询次数的,所以跳表确实是可以提高查询效率的。

1.2、跳表的时间复杂度

  • 先来考虑:如果链表里有 n 个结点,会有多少级索引?

    • 每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点
    • 那第一级索引的结点个数大约就是 n/2,第二级索引的结点个数大约就是 n/4,第三级索引的结点个数大约就是 n/8,依次类推,第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2, 那第 k 级索引结点的个数就是 n/(2^k)
    • 假设索引有 h 级,最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式,我们可以得到 n / (2^h) = 2,从而求得 h = log2n-1。如果包含原始链表这一层,整个跳表的高度就是 log2n
  • 在跳表中查询某个数据的时候,如果每一层都要遍历 m 个结点,那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。

  • 按照前面这种索引结构,每一级索引都最多只需要遍历3个结点,也就是说 m=3,原因如下:

    • 假设我们要查找的数据是 x,在第 k 级索引中,我们遍历到 y 结点之后,发现 x 大于 y,小于后面的结点 z,所以我们通过 y 的 down 指针,从第 k 级索引下降到第 k-1 级索
      引。
    • 在第 k-1 级索引中,y 和 z 之间只有3个结点(包含 y 和 z ),所以,我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点,依次类推,每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点
    • 六、跳表 - Skip list
  • 因为 m=3,所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)

  • 这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。其实是基于单链表实现了二分查找。

  • 不过这种查询效率的提升,前提是建立了很多级索引,是空间换时间的设计思路

1.3、跳表的空间复杂度

  • 比起单纯的单链表,跳表需要存储多级索引,肯定要消耗更多的存储空间。

  • 假设原始链表大小为 n,那第一级索引大约有 n/2 个结点,第二级索引大约有 n/4个 结点,以此类推,每上升一级就减少一半,直到剩下2个结点。

  • 如果把每层索引的结点数写出来,就是一个等比数列。

  • 六、跳表 - Skip list
  • 这几级索引的结点总和就是 n/2 + n/4 + n/8… + 8 + 4 + 2 = n-2。

  • 所以,跳表的空间复杂度是 O(n)

  • 也就是说,如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表,需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。

  • 实际上,在软件开发中,不必太在意索引占用的额外空间。

  • 在学习数据结构和算法时,习惯性地把要处理的数据看成整数,但是在实际的软件开发中,原始链表中存储的有可能是很大的对象,而索引结点只需要存储关键值和几个指针,并不需要存储对象,所以当对象比索引结点大很多时,那索引占用的额外空间就可以忽略了。

二、在跳表中插入、删除元素

跳表这个动态数据结构,不仅支持查找操作,还支持动态的插入、删除操作。而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)

2.1、插入 & 删除

  • 在单链表中,一旦定位好要插入的位置,插入结点的时间复杂度是很低的,就是 O(1)。

  • 这里为了保证原始链表中数据的有序性,需要先找到要插入的位置,这个查找操作就会比较耗时。

  • 对于纯粹的单链表,需要遍历每个结点,来找到插入的位置。

  • 对于跳表来说,查找某个结点的的时间复杂度是 O(logn),所以这里查找某个数据应该插入的位置,方法也是类似的,时间复杂度也是 O(logn)。

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  • 删除的原理和插入差不多,都是先查找,在操作具体的节点。

  • 如果这个结点在索引中也有出现,我们除了要删除原始链表中的结点,还要删除索引中的。

  • 因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点,然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候,一定要获取前驱结点。当然,如果用的是双向链表,就不需要考虑这个问题了。

2.2、跳表索引动态更新

  • 当不停地往跳表中插入数据时,如果不更新索引,就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。

  • 极端情况下,跳表还会退化成单链表。

  • 六、跳表 - Skip list
  • 作为一种动态数据结构,需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡,也就是说,如果链表中结点多了,索引结点就相应地增加一些,避免复杂度退化,以及查找、插入、删除操作性能下降。

  • 跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”

  • 当往跳表中插入数据的时候,可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。

  • 通过一个随机函数,来决定将这个结点插入到哪几级索引中,比如随机函数生成了值 K,那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

  • 随机函数的选择很有讲究,从概率上来讲,能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性,不至于性能过度退化。

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三、总结一下

原理查询、插入、删除 的时间复杂度空间复杂度维护“平衡性”的方式
跳表采用了空间换时间的思想,通过构建多层索引来提高效率Q(logn)Q(n)随机函数

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