回溯算法讲解--适用于leetcode绝大多数回溯题目

什么是回溯算法？
回溯法是一种系统搜索问题解空间的方法。为了实现回溯，需要给问题定义一个解空间。
说到底它是一种搜索算法。只是这里的搜索是在一个叫做解空间的地方搜索。
而往往所谓的dfs，bfs都是在图或者树这种数据结构上的搜索。
根据定义来看，要实现回溯，需要两点1搜索，2解空间
先看什么是解空间。
就是形如数组的一个向量[a1,a2,....,an]。这个向量的每个元素都是问题的部分解，只有当这个数组的每一个元素都填满(得到全部解)的时候，才表明这个问题得到了解答。
再看搜索。
最简单的就是for循环，上面的向量有n个维度，因此就是n个for循环。
形如：

for(求a1位置上的解)
   for(求a2位置上的解)
      for(求a3位置上的解)
       ......
       ......
       for(求an位置上的解)

但是如果n是100？n是100000？那么如何回溯？
当然也可以写n个for循环，但是这样的程序会惨不忍睹。。。而且似乎10000个(不过往往回溯的时间复杂度太大，一般n不会这么大)for循环也很难写出来。。。
因此我们需要一种全新的书写回溯的方法。形如：

void backtrack(int i,int n,other parameters)
{
  if( i == n)
{
 //get one answer
record answer;
return;
}
//下面的意思是求解空间第i个位置上的下一个解
for(next ans in position i of solution space)
{
  backtrack(i+1,n,other parameters);
}
}

就是这么简单！！！
上面的模板适用于所有"解空间确定"的回溯法的问题！！！
上面的i代表解空间的第i个位置，往往从0开始，而n则代表解空间的大小。每一次的backtrack(i,n,other)调用,代表求解空间第i个位置上的解。而当i=n时，代表解空间上的所有位置的解都已经求出。
有了上述模板，我们就解决了搜索的问题。
因此几乎所有回溯的问题的难度都在于如何定义解空间。
下面通过题目，带入模板，然后再看我的解答，来感知一下如何定义解空间。
全排列https://segmentfault.com/a/11...
即对没有重复数字的数组a=[a1,a2,a3,...an]求全排列。
解空间定义为s=[s1,s2,s3,....sn]与数字长度相同。s的每一个元素s【i】(i >= 0&&i < n),都为数组a中的任意元素a【j】(j >= 0&&j < n)，不过要保证任意的s【i】不相等。
这里唯一复杂的地方是需要用一个boolean【】数组来表明哪些数已经用过，这样才能保证任意的s【i】不相等。
因此我们看到，回溯本身是很简单的，单纯的模板套用，难的在于需要根据回溯条件来定义各种别的变量，以及最后结果的记录。

探测路径https://leetcode-cn.com/probl... (这个下面给出ac 代码)
这个题很难，但是掌握了如何定义解空间之后再做这个题就会感觉是小儿科了。
这里的解空间s = [s1,s2,s3,....sn]中的每一个元素s【i】代表格子的坐标(x,y),因此从逻辑上来看，s应该是一个类类型的数组。不过，这个题求的是数目，而不是最后的确切路径，因此解空间在这里并没有记录。
java ac代码：

class Solution {
    int ans;
    public int uniquePathsIII(int[][] grid) {
        if(grid.length == 0)return 0;
        int num = 0;
        int x = 0,y = 0;
        for(int i = 0;i < grid.length;i++)
            for(int j = 0;j < grid[0].length;j++){
                if(grid[i][j] == 1||grid[i][j] == 0)num++;
                if(grid[i][j] == 1){x = i;y = j;}
            }
        backtrack(0,num,x,y,grid,new boolean[grid.length][grid[0].length]);
        return ans;
    }
    
    void backtrack(int i,int n,int x,int y,int[][]grid,boolean[][]flag)
    {
        if(!(x >= 0 && x < grid.length && y >= 0 && y < grid[0].length)||flag[x][y]||grid[x][y] == -1)
            return;
        if(i == n && grid[x][y] == 2)
        {
            ans++;
            return;
        }
        flag[x][y] = true;
        backtrack(i+1,n,x+1,y,grid,flag);
        backtrack(i+1,n,x-1,y,grid,flag);
        backtrack(i+1,n,x,y+1,grid,flag);
        backtrack(i+1,n,x,y-1,grid,flag);
        flag[x][y] = false;
    }
}

上面这个题的解空间应该有N+1维才对，但是为了方便书写，我只求出前n维位置的解，然后保证最后一维中位置是终点即可。

如果仍然觉得抽象，那么我建议大家把回溯想象成“填格子”游戏。
到leetcode上找回溯的专题，对于每一个回溯法可解的问题，看看这题需要填的格子(格子就是解空间)是什么。

比如n个不重复字母的全排列，不就是填充n个格子，填满并且合法就得到一个解。

再比如在字母矩阵中搜索某个字符串比如"adrsad",那么格子有几维？不就是填充维度是n的格子(字符串s长度n)，并且格子的第i(i从0开始到n-1)个维度上必须填s[i]，否则都是不合法的。用这种思路再做这个题看看会不会好做很多。

再比如括号生成，这里的格子的数量是括号对数乘以2，格子上填的就是左括号或者右括号，这里的剪枝条件是，当前右括号数量超过了左括号，或左括号数量超过了一半。当然为了剪枝需要在函数参数中维护左右括号数这两个变量。

最后，为什么要掌握回溯法？？？
因为懂了回溯法之后笔试里的很多题就算AC不了，起码成功运行70%到90%之间是没问题的。
而且如果笔试题里有的数据集设计的不够好，那么回溯甚至可以比动态规划运行的还快。
而这对于获得面试机会已经足够了！！！
并且回溯很优美，很容易理解，因为说到底它不过就是个填格子的游戏罢了。