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LeetCode 983. 最低票价

题目

在一个火车旅行很受欢迎的国度，你提前一年计划了一些火车旅行。在接下来的一年里，你要旅行的日子将以一个名为?days?的数组给出。每一项是一个从?1?到?365?的整数。

火车票有三种不同的销售方式：

• 一张为期一天的通行证售价为?costs[0] 美元；
• 一张为期七天的通行证售价为?costs[1] 美元；
• 一张为期三十天的通行证售价为?costs[2] 美元。

通行证允许数天无限制的旅行。 例如，如果我们在第 2 天获得一张为期 7 天的通行证，那么我们可以连着旅行 7 天：第 2 天、第 3 天、第 4 天、第 5 天、第 6 天、第 7 天和第 8 天。

返回你想要完成在给定的列表?days?中列出的每一天的旅行所需要的最低消费。

示例 1：

输入：days = [1,4,6,7,8,20], costs = [2,7,15]
输出：11
解释： 
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划：
在第 1 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 1 天生效。
在第 3 天，你花了 costs[1] = $7 买了一张为期 7 天的通行证，它将在第 3, 4, ..., 9 天生效。
在第 20 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 20 天生效。
你总共花了 $11，并完成了你计划的每一天旅行。

示例 2：

输入：days = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,30,31], costs = [2,7,15]
输出：17
解释：
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划： 
在第 1 天，你花了 costs[2] = $15 买了一张为期 30 天的通行证，它将在第 1, 2, ..., 30 天生效。
在第 31 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 31 天生效。 
你总共花了 $17，并完成了你计划的每一天旅行。

提示：

• 1 <= days.length <= 365
• 1 <= days[i] <= 365
• days?按顺序严格递增
• costs.length == 3
• 1 <= costs[i] <= 1000

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-cost-for-tickets
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解题思路

dp动态规划

思路1-动态规划

思路解析：动态规划的关键是找到转移方程，本题即对天票、周票、月票的动态规划，用dp[i]表示截至到第i天旅行所需要的总花费，那么第i天买票的逻辑为（\(i>0\)，对应实际的天数）：

• 若第i天买天票，则截至第i天总花费为\({\color{Magenta}{dp[i-1]+costs[0]}}\)，dp[0]为0，没有第0天，天数从1开始算起；
• 若第i天买周票，则截至第i天总花费为\({\color{Magenta}{dp[i-7]+costs[1]}}\)，i小于7时，dp[i-7]用0替代；
• 若第i天买月票，则截至第i天总花费为\({\color{Magenta}{dp[i-30]+costs[2]}}\)，i小于30时，dp[i-30]用0替代；
  要使得第i天花费最少，则取上面3种方案的最小值即可，对应的动态转移方程可以表示为：

具体步骤：

1. 初始化dp数组，dp的长度应为计划旅行的最后一天序号+1，即dp[days[days.length-1]+1]，保证计算到最后一天；
2. 将dp[days[i]]初始化为-1，表示当天要旅行需要计算花费；
3. 开始动态规划，dp[i]为0时当天未旅行，花费等于dp[i-1]，为-1时按照转移方程计算dp[i]的花费；
4. 最终dp[days[days.length-1]]即为最小总花费；

算法复杂度: n为最后一天旅行的序号

• 时间复杂度： $ {\color{Magenta}{\Omicron\left(n\right)}} $
• 空间复杂度： $ {\color{Magenta}{\Omicron\left(n\right)}} $

算法源码示例

package leetcode;

/**
 * @author ZhouJie
 * @date 2020年5月6日 下午10:48:51 
 * @Description: 983. 最低票价
 *
 */
public class LeetCode_0983 {

}

class Solution_0983 {
	/**
	 * @author: ZhouJie
	 * @date: 2020年5月6日 下午11:53:49 
	 * @param: @param days
	 * @param: @param costs
	 * @param: @return
	 * @return: int
	 * @Description: 1-动态规划；
	 *
	 */
	public int mincostTickets(int[] days, int[] costs) {
		// 最后一天旅行的序号
		int len = days[days.length - 1];
		// 动态规划dp需要len+1长度，包含最后一天
		int[] allCost = new int[len + 1];
		// 标记哪些天旅行了
		for (int i : days) {
			allCost[i] = -1;
		}
		int c1, c2, c3;
		for (int i = 1; i < len + 1; i++) {
			// 若当天未旅行，则花费等价于前一天
			if (allCost[i] == 0) {
				allCost[i] = allCost[i - 1];
			} else {
				// 买当天票的花费
				c1 = allCost[i - 1] + costs[0];
				// 买周票的花费：分为7天内买周票和7天外买周票
				if (i >= 7) {
					c2 = allCost[i - 7] + costs[1];
				} else {
					c2 = costs[1];
				}
				// 买月票的花费：分为30天内买月票和30天外买月票
				if (i >= 30) {
					c3 = allCost[i - 30] + costs[2];
				} else {
					c3 = costs[2];
				}
				// 截至第i天旅行的最小花费为c1、c2、c3的最小值
				allCost[i] = Math.min(Math.min(c1, c2), c3);
			}
		}
		// 最后一天即旅行总花费
		return allCost[len];
	}
}